DIMENSIONS...Une Promenade Mathématique - Una Passeggiata Attraverso La Matematica

DIMENSIONS...une promenade mathématique (Dimensioni...una passeggiata attraverso la Matematica) è uno splendido film realizzato da Jos Leys (Grafica e animazioni), Étienne Ghys (Sceneggiatura e contenuti matematici), Aurélien Alvarez (Realizzazione e post-produzione), vincitore del "Prix D'Alembert" 2010, premio biennale assegnato dalla antica e prestigiosa French Mathematical Society ai migliori progetti nella divulgazione della Matematica.

La grafica e le qualità artistiche del lavoro, la semplicità con cui vengono introdotti i concetti geometrici, ne ha rapidamente fatto un'opera famosa in tutto il mondo. Il numero crescente di traduzioni riflette, infatti, il successo internazionale di questo film straordinario.

Non chiedetemi come mi ci sono imbattuta perché non saprei dirvelo, ma ci sono arrivata di link in link, serendipicamente!

Vediamo allora di che cosa tratta questa affascinante passeggiata attraverso la Matematica: nove capitoli, due ore di matematica, che coinvolgono un po' alla volta fino alla quarta dimensione. Una vertigine matematica garantita!

Ecco, in sintesi, la trama dei nove capitoli.

Capitolo 1:  Le due dimensioni

Contenuto: Ipparco spiega come due numeri possono descrivere la posizione di un punto su una sfera. Quindi spiega la proiezione stereografica: come si può disegnare un'immagine della Terra su di un pezzo di carta?

Ipparco è il primo eroe della nostra storia, ma non dobbiamo prendere troppo alla lettera ciò che afferma! Egli sostiene di essere stato l'inventore della geografia e dell'astronomia. Il che sembra un po' esagerato: chi potrebbe davvero pretendere ciò? Non hanno forse i viaggiatori sempre descritto i loro viaggi, e i pastori non hanno sempre guardato le stelle? E' estremamente raro che un singolo individuo possa inventare una intera scienza. Tuttavia, cerchiamo di rendere omaggio a Ipparco come a uno dei più grandi saggi dell'antichità.

Sappiamo molto poco sulla vita di Ipparco. Egli nacque intorno al 190 a.C. e morì  intorno al 120 a.C. Questo articolo contiene una breve biografia e questo sito una biografia più estesa. Tuttavia, non c'è dubbio che il nostro saggio è stato uno dei primi a realizzare un catalogo delle stelle e a misurare le loro posizioni nella sfera celeste, infatti, con una precisione sorprendente. Gli astronomi hanno onorato Ipparco chiamando con il suo nome un cratere della Luna.
Lo scrittore e illustratore belga Hergé inviò Tintin ad esplorare questo cratere in  Explorers on the Moon (XVII di Le avventure di Tintin, una serie di classici del fumetto), sottolineando che "Le Cirque d'Hipparque n'a pas besoin de clown, donc vous pouvez ne pas faire l'affaire ..." ovvero "Il circo di Ipparco non ha bisogno di un clown, quindi non si può fare il trucco" (Per il contesto di questa osservazione, leggere Explorers on the Moon!)

Il secondo ruolo, nel primo capitolo, è interpretato da Tolomeo, vissuto tre secoli dopo Ipparco, tra l'85 e il 135 d.C. Ampiamente riconosciuto come un grande astronomo e geografo, egli trasse ispirazione dalle opere di Ipparco, ma gli storici non sono d'accordo sulla portata di  tale influenza. Tolomeo fece uso delle misure di Ipparco, invece di farne in proprio? Una domanda difficile, lasciata volentieri agli specialisti.

Per una biografia di Tolomeo, cliccare qui, e, per un'analisi più dettagliata, consultare questo sito...e nessuna paura, anche Tolomeo ha il suo cratere personale sulla Luna!

Capitolo 2: Le tre dimensioni.

Contenuto:  M.C. Escher racconta le avventure di creature bidimensionali che cercano di immaginare oggetti tridimensionali.

MC Escher (1898-1972) fu uno straordinario artista, i cui lavori suscitano ancora oggi l'interesse di molti matematici. Le sue incisioni ci mostrano mondi paradossali, tassellature con sorprendenti simmetrie e prospettive infinite: l'incantesimo degli oggetti che affascina i matematici! Potete trovare una biografia e una vasta collezione di riproduzioni di incisioni storiche sul sito ufficiale.

J. S. Bach (1685-1750) è un altro artista che affascina i matematici (tra gli altri!). Anche egli ci presenta delle simmetrie stupefacenti.

Kurt Gödel (1906-1978) fu un matematico che ha rivoluzionato la logica,  sfruttando anche la simmetria che collega l'intero a una delle sue parti.

Uno splendido libro "Godel, Escher, Bach" esplora il profondo legame tra  questi tre personaggi eccezionali.

Questo capitolo potrebbe anche essere presentato da Edwin Abbott, un ecclesiastico inglese del XIX secolo, che ha scritto un bellissimo libro chiamato Flatlandia. 


Il libro racconta la storia di una società piatta in cui i personaggi sono triangoli, quadrati, cerchi e segmenti. In questa società, le regole della vita sono complesse e il fascino del libro sta nel fatto che l'autore coglie l'occasione per tessere una fine caricatura della società vittoriana del XIX secolo (in cui ha vissuto), che non manca di complessità. Un libro che è allo stesso tempo scientifico e sociologico.


L'eroe del libro è un quadrato che esce dal piano e diventa a poco a poco consapevole dell'esistenza di altre dimensioni. Il sottotitolo del libro è anche "Un romanzo a molte dimensioni". Questo piccolo libro, uno dei primi libri di divulgazione scientifica, è un vero gioiello.


Ecco l'intero libro in inglese.

Nel secondo capitolo si parla anche di solidi platonici, sezioni, proiezione stereografica e altro.

Capitoli 3 e 4: La quarta dimensione

Contenuto: Il matematico Ludwig Schläfli ci parla di oggetti nella quarta dimensione e ci mostra una serie di poliedri regolari in 4 dimensioni, strani oggetti con 24, 120 e persino 600 facce!

Gli autori sono stati molto riluttanti nello scegliere il narratore di questo capitolo. L'idea della quarta dimensione non appartiene a un solo uomo, ma sono state necessarie molte menti creative per completarla e farla considerare in matematica. Tra i precursori si può citare il grande Riemann, il narratore dell'ultimo capitolo, che ebbe senza dubbio un'idea molto chiara della quarta dimensione, a metà del XIX secolo.
 
Alla fine, è stato scelto Ludwig Schläfli (1814-1895), soprattutto per il suo spirito originale e anche perché è quasi dimenticato ai nostri giorni, persino tra i matematici. Egli è stato uno dei primi a rendersi conto che, pur apparendo il nostro spazio fisico a 3 dimensioni, nulla vieta di immaginare uno spazio a 4 dimensioni, e persino di dimostrare teoremi di geometria riguardanti oggetti matematici a 4 dimensioni. 

Per lui, la quarta dimensione è una pura astrazione, e non c'è dubbio che, dopo anni di lavoro, deve essersi sentito più a suo agio nella quarta dimensione che nella terza! La sua opera principale intitolata Theorie der vielfachen Kontinuität è stata pubblicata nel 1852.

Con molta probabilità, pochi sono stati i lettori che hanno colto l'importanza di questo libro, all'epoca. Soltanto all'inizio del XX secolo, i matematici hanno finalmente compreso il valore di una tale opera monumentale. Per ulteriori informazioni su Schläfli, vedere qui e qui.

D'altronde, all'interno della comunità matematica, la quarta dimensione ha mantenuto a lungo il suo aspetto misterioso e impossibile. Nel grande pubblico, la quarta dimensione evoca spesso storie di fantascienza in cui si verificano fenomeni paranormali, e, a volte, evoca la teoria della relatività di Einstein, nella quale la quarta dimensione non è forse il tempo? Giusto per confondere i problemi di matematica e fisica! La quarta dimensione per Schläfli è una pura creazione della mente!

Guardate questa bellissima animazione!


Capitoli 5 ​​e 6: i numeri complessi

Contenuto: Il matematico Adrien Douady spiega i numeri complessi. La radice quadrata di numeri negativi spiegata con semplicità. Trasformazioni del piano, deformando le immagini, la creazione di immagini frattali.

I numeri complessi costituiscono uno dei capitoli più belli della matematica e sono diventati indispensabili nell'ambito della scienza. Il percorso della loro scoperta non è stato facile e la terminologia riflette questa difficoltà: il termine "complesso" implica che non è un argomento facile da capire. Fortunatamente al giorno d'oggi non è più così, potendoli presentare in modo relativamente elementare.

Adrien Douady è il presentatore di questi due capitoli. Matematico eccezionale, i suoi contributi sono molto vari. Egli amava affermare che tutte le sue ricerche ruotano intorno ai numeri complessi. In particolare, è uno dei matematici che hanno ravvivato la teoria dei sistemi dinamici complessi.
Una caratteristica della citata teoria è quella di generare insiemi frattali molto belli che possono essere rappresentati attraverso il computer (una animazione).
Adrien Douady ha fortemente incoraggiato la produzione di tali immagini, sia per aiutare il matematico nella sua ricerca che per divulgare la matematica nella società.


Guardate questa animazione.

E' chiaro che Adrien Douady non può spiegare l'intera teoria dei numeri complessi in due capitoli di 13 minuti...Questi capitoli non possono sostituire il corso di un insegnante, un libro o una dettagliata esposizione (vedere, ad esempio, questo sito o questo), ma devono essere considerati come dei complementi o illustrazioni che forniscono ulteriori informazioni o fungono da promemoria, per coloro che hanno dimenticato le lezioni del lontano passato . Naturalmente, il film cerca soprattutto di evidenziare la parte geometrica dei numeri complessi.


Capitoli 7 e 8: La fibrazione
 
Contenuto: Il matematico Heinz Hopf descrive la sua "fibrazione". Costruisce, con i numeri complessi, delle belle combinazioni di cerchi nello spazio.

La Topologia è la scienza che studia le deformazioni. Per esempio, la tazza e la ciambella sono ovviamente due oggetti diversi, ma è possibile passare da l'una all'altra con una deformazione continua, che non introduce alcuna lacerazione: il matematico esprime tale comportamento dicendo che la tazza e la ciambella sono omeomorfe (stessa forma). E un topologo è qualcuno che non distingue la sua tazza di caffè dalla sua ciambella!

Anche in questo caso, ci è voluto molto tempo prima che la teoria assumesse lo status di disciplina autonoma, con i suoi problemi e metodi originali, spesso di natura qualitativa. Anche se ci sono stati illustri predecessori (come Eulero, Riemann, Listing o Tait), spesso si ritiene che Henri Poincaré abbia gettato le solide fondamenta della topologia (che chiamò analysis situs).

Il nostro narratore, Heinz Hopf (1894-1971), è stato uno dei suoi seguaci più appassionati, nella prima metà del ventesimo secolo.

Una animazione del ciclide di Dupin.


Capitolo 9: Prove
 
Contenuto: Il matematico Bernhard Riemann spiega l'importanza delle prove in matematica. Egli dimostra un teorema sulla proiezione stereografica.

Il primo punto riguarda l'eredità di Euclide.

Questo capitolo è un po 'speciale... Si potrebbe in realtà considerare come una conseguenza del primo capitolo, ma si può anche guardarlo indipendentemente dal resto. Una specie di bonus! L'obiettivo è quello di spiegare come le dimostrazioni siano il cuore della matematica.

I matematici sono grati ad Euclide per aver definito chiaramente le regole della matematica. Egli ha avuto la genialità di proporre un metodo per la matematica, la compilazione di uno dei più grandi testi matematici di tutti i tempi: gli Elementi (una versione online qui), che rimane un indiscusso riferimento per quasi 2000 anni!

L'originalità del libro è nella sua struttura. Tutti gli enunciati, teoremi, proposizioni, e così via, sono pienamente giustificati sulla base di enunciati dimostrati in precedenza.
Ma Euclide capì che non si poteva dimostrare sempre partendo dai risultati precedenti. La sua idea è di iniziare con un elenco di assiomi e poi costruire un edificio dove ogni pietra è appoggiata saldamente su quelle precedenti. Ci sarebbe ovviamente molto da dire sul metodo assiomatico.


Continuando nell'esplorazione dei due capitoli, per illustrare come funziona una dimostrazione matematica, è stato scelto un teorema non facile, già introdotto nel capitolo 1.


Teorema: "La proiezione stereografica trasforma un cerchio disegnato sulla sfera, che non passa attraverso il polo nord, in un cerchio disegnato nel piano tangente al Polo sud."

Si tratta di un teorema molto antico. Ipparco lo conosceva? Qualcuno lo ha dimostrato? Difficile a dirsi.

L'idea di considerare la sfera S² come una linea complessa alla quale si aggiunge un punto all'infinito è spesso attribuita a Bernhard Riemann: si chiama la sfera di Riemann.

Questo matematico è senza dubbio uno dei più creativi di tutti i tempi e gli autori del film hanno pensato a lui come alla persona ideale per presentare la dimostrazione di questo teorema, sulla "sua" sfera!


L'opera di Riemann è immensa: grazie a lui, possiamo pensare a molti concetti matematici in modo differente. Un solo esempio per tutti: egli ci ha insegnato quanto può essere utile pensare ad una curva algebrica nel piano reale, attraverso la sua versione complessa nel piano complesso, che diventa una curva complessa, vale a dire una superficie...Questa è la teoria delle superfici di Riemann, che rimane ancora una tra le più belle teorie.


Altro di cui si parla nei nove capitoli, potete scoprirlo nel film, di cui posto la versione italiana.