Semplificazione Del Procedimento Di Archimede Per Il Calcolo di Pi

Propongo di seguito un interessante lavoro di Gaetano Barbella dal titolo "Semplificazione Del Procedimento Di Archimede Per Il Calcolo Di Pi", fondato su una ispirazione al metodo grafico in uso presso gli antichi egizi. Essa semplifica il procedimento secondo cui Archimede calcolò i termini molto approssimati del valore di pi greco compreso tra  3+10/70 e  3+10/71.

E’ vero che gli Egizi hanno usato questa tecnica nell’arte (vedere qui). E Gaetano ha già affrontato questo problema nei suoi seguenti lavori: qui  e qui.

L'autore impiega questo metodo, pensando che Archimede lo abbia utilizzato come una sorta di lente di ingrandimento sul lato del poligono: un metodo grafico (ingrandimento/riduzione) in uso nelle arti degli antichi egizi.

Questo metodo a reticolato, sovrapposto sulla figura geometrica, lo fece vedere anche Paolo Zellini nel 1999 nel suo noto Libro GNOMON, Adelphi, pagg. 254, 255, 256, che lo collega pure ai procedimenti indiani esposti nel Sulvasutra.

Riporto di seguito, per completezza, alcuni riferimenti che vanno nella direzione del lavoro di Gaetano:

un sito inglese 

I 20 capitoli di Polymath

Un lavoro sul metodo di esaustione di Franco Marianelli, Leonardo Teglielli, Leonilde Rossi e Giulia Scaccia.

Inoltre, quando si parla del metodo di esaustione, non si può non citare l'ebook di Aldo Bonet “Lettera dello Scriba” perché non si può escludere il diagramma di argilla, che conteneva, tra le tante cose, anche i concetti prescientifici di limite e infinito.

Nell’ebook, infatti, come potete leggere da pag. 130 a pag. 138, si evince uno sviluppo, già avvenuto nell’antica Babilonia, del diagramma di argilla a modulo quadrato verso altri diagrammi di argilla poligonali regolari (triangolari, pentagonali, esagonali, ecc). Certamente, queste antiche imbastiture di argilla, come potete ben vedere, hanno successivamente e visibilmente influenzato i primi metodi di esaustione dei matematici greci del V e IV secolo a.C, dal metodo di Antifonte, sviluppato poi da Eudosso, per giungere alla massima maturità con Archimede. La prova di questo influsso sta nel fatto che anche lo Stomachion archimede, così come il Tangram cinese, hanno avuto le loro più antiche ispirazioni nel millenario diagramma di argilla.

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Semplificazione Del  Procedimento Di Archimede Per Il Calcolo di Pi

Al link "Archimede ed il calcolo di pi", viene presentata una lezione di livello universitario su un argomento molto interessante quale il calcolo di pi greco effettuato da Archimede nel terzo secolo a.C.

Introduzione della lezione

Nel terzo secolo a.C. Archimede approssimò il valore di pi greco con un metodo innovativo che si basava sul calcolo dei perimetri di due poligoni, uno inscritto nel cerchio e l'altro circoscritto, per trovare così un'approssimazione alla circonferenza del cerchio. Egli riconobbe che il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e quella del suo diametro erano costanti.

Come abbiamo visto, diverse approssimazioni di Pi erano già state calcolate dai babilonesi, dagli egiziani ed anche dai cinesi, ma il metodo utilizzato da Archimede differisce dalle precedenti approssimazioni per un passaggio fondamentale: nelle precedenti dimostrazioni per approssimare pi greco con semplicità, si otteneva un valore attraverso il confronto fra l'area (o il perimetro) di certi poligoni con quella del cerchio.

Il metodo utilizzato da Archimede è nuovo perché è un procedimento iterativo, con cui si può trovare un'approssimazione accurata quanto si desidera semplicemente ripetendo il processo, usando le precedenti stime di Pi per ottenerne di nuove.
Nella spiegazione del metodo, Archimede ha saltato molti passaggi e quelli pervenuti spesso non sono chiari, così gli studiosi di matematica hanno introdotto delle varianti al suo metodo per applicarlo in una via più semplice...

Illustro ora una mia concezione dello stesso procedimento, che si è delineata seguendo il metodo grafico applicato dagli antichi egizi per risolvere cose di geometria. Essa semplifica il metodo secondo cui Archimede calcolò il valore  molto approssimato di pi greco compreso tra  3+10/70 e  3+10/71.

 «[...] gli Egiziani avevano famigliari i reticolati a maglie quadrate che essi adoperavano con vari modelli che si trovano, ad esempio nel Museo Egiziano di Torino, come i pittori fanno ancora oggi, per ingrandire od impicciolire disegni secondo una determinata scala. Essi conoscevano l'uso del compasso [...]»  e quindi fare ragionamenti onde arrivare alla concezione della regola di Rind per la quadratura del cerchio, secondo l'ipotesi di uno studioso, il Sig. G. Vacca in una nota pubblicata nel Bollettino di Bibliografia e Storia delle scienze matematiche. (Citazione tratta dal libro Matematica dilettevole e curiosa di Italo Ghersi, pag. 360 – Edizione Hoepli).

Il diagramma dell'illustrazione porta alla semplificazione del procedimento di Archimede per il calcolo di pi greco, ricorrendo al metodo grafico. Il risultato si allinea al valore 3+10/70, che è il limite inferiore pi greco ottenuto da Archimede. Quello superiore è 3+10/71, come suddetto. 

La retta OB relativa ad AB = ¼ π ∙ 20, passa approssimativamente per il punto d'incrocio dell'ascissa 14 con l'ordinata 11.

CD = 20 ∙ 11/14 = 20 ∙ ¼ (3+10/70).
Semplificando 11/14 = ¼ (3+10/70) = 0,785714285...

Ma si può obiettare che pi greco, in teoria, non lo si può delineare e perciò non potremmo stabilire il giusto segmento AB, però c'è modo di rimediare. Si ricorre alla sezione aurea in questa versione:

20 ∙ √0,618033988...= 20 ∙ 0,786151377...  che è molto approssimato a 20 ∙ ¼π = 20 ∙ 0,785398163..., però 20 ∙ ¼ (3+10/70) = 20 ∙ 0,785714285..., di Archimede, come si vede, ha un'approssimazione migliore.

Avremo così:

CD = 14/20  AB = 11,00611929... che è circa 6/1000 > dell'ascissa 11.

E se AB = 20 ∙ ¼π,

CD = 10,99557429... che è circa 3/1000 < dell'ascissa 11.