99 = 100 !!!

99 = 100 !!! Proviamo a comprendere il significato di questa paradossale uguaglianza che figura nel titolo del post e, a tal fine, osserviamo con attenzione la seguente immagine.

Il rettangolo color grigio, che chiameremo R, è suddiviso in due parti separate da una linea a gradini. Trasciniamo di un quadretto in alto a destra la parte superiore, contrassegnata dalla lettera A, in modo da formare il quadrato, che chiameremo Q, come si può vedere nell'immagine seguente.

Ed ecco che si presenta una strana situazione! R e Q risultano equivalenti in quanto equicomposti, ma il rettangolo R è formato da 11 x 9 = 99 quadretti, mentre il quadrato Q  è formato da 10^2 = 100 quadretti e, quindi, si avrebbe la paradossale uguaglianza:

99 = 100

Ma come è possibile? Qui, qualcosa non quadra: proviamo a capire di cosa si tratta!

Consideriamo la nota identità:

(n -1) x (n + 1) = n^2 - 1

il cui primo membro, per  n = 10, potrebbe essere rappresentato geometricamente dall'area del rettangolo R. Nel secondo membro dell'identità,  n^2  potrebbe essere rappresentato geometricamente dall'area del quadrato Q, in cui è stato riconfigurato il rettangolo R. Quindi l'area di Q supererebbe di un quadretto l'area di R.

L'ultima riga di Q, infatti, non appartiene al rettangolo R, ma d'altra parte l'ultima colonna di R, quella a sinistra, non appartiene al quadrato Q. La riga di Q contiene n  quadretti, mentre la colonna di R contiene n- 1 quadretti, la qualcosa dimostra che l'area di Q supera di un quadretto l'area di R, secondo l'identità vista.

Pertanto,  R e Q non sono equivalenti, come sembrerebbe dalle due configurazioni geometriche viste e, di conseguenza, crolla la paradossale uguaglianza 99 = 100!

Entrando nei dettagli, formalizziamo quanto prima considerato:


Area R = (n - 1) x (n + 1) rappresenta l'area del rettangolo R iniziale


Area Q = n^2  rappresenta l'area del quadrato Q finale.


Suddividiamo adesso il rettangolo R nella colonna di (n - 1) quadretti a sinistra e nel rimanente rettangolo formato da n colonne  di (n - 1) quadretti ciascuna.

Area R = (n-1) + (n-1)n 

Suddividiamo, quindi, il quadrato Q nella riga superiore di n quadretti ed il rimanente rettangolo formato da (n - 1) righe di n quadretti ciascuna.

Area Q = n + n(n-1)

Sottraendo dall'area del quadrato quella del rettangolo, possiamo osservare quanto segue:
 
Area Q - Area R = [n + n(n-1)] - [(n-1) + (n-1)n] = n + n(n-1)-(n-1) - (n-1)n= n + n(n-1) - n + 1 - (n-1)n=1

Il risultato ottenuto conferma che l'area del Quadrato supera di un quadretto l'area del Rettangolo.

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Fonte: Eye Opener Series