Come Spiegare Zero Elevato Alla Zero Agli Undicenni?

Questo articolo trae spunto da una discussione scaturita su G+  intorno al seguente quesito, posto da Tania Tanfoglio:



l'equazione y=a^b
1. è vera per ogni valore di a e di b
2. è vera per ogni a>o e per ogni valore di b
3. nessuna delle precedenti

La prima risposta è stata scartata per il caso particolare in cui  a=0 e b=0 ovvero per la forma 0^0. Non entro nel merito di quale sia la risposta esatta delle tre, rivolgendo la mia attenzione a 0^0, su cui sono già stati  scritti tre post: da Gianluigi Filippelli su Dropsea, da Juhan su Al tamburo riparato e da Maurizio Codogno su Il Post, che sono in ordine un fisico, un ingegnere informatico e un matematico.


La risposta su cui concordano, in generale, tutti è la seguente:


0^0 è una forma indeterminata.


Juhan ha sviluppato un approccio informatico secondo cui 0^0=1 perché altrimenti non sarebbe utile.


Se volete saperne di più andate a leggere i tre post che ho segnalato.


La questione che mi interessa mettere in evidenza è come spiegare che 0^0 è una forma indeterminata ai primini della scuola media!


Essì, miei cari, le potenze con annessi e connessi si affrontano in prima media e tutti i libri di testo riportano 0^0 come forma indeterminata. Si tenga conto che gli undicenni conoscono soltanto l'insieme dei numeri naturali e non conoscono né il concetto di funzione né quello di equazione.


Inoltre è piuttosto astruso a quella età anche il concetto di definizione, ragione per cui, nella prassi didattica, il concetto di potenza, all'interno dei numeri naturali, viene introdotto in modo operativo come la moltiplicazione di n fattori uguali, per cui:


2^3= 2 x 2 x 2


4^5= 4x 4 x 4 x 4 x 4


ecc.


Fin qui, fila tutto liscio e l'operazione viene compresa senza difficoltà...ma i problemi hanno inizio con i casi particolari.


Che cosa succede quando l'esponente è 0 e la base un numero naturale diverso da zero?


Esemplificando, come considerare situazioni quali 5^0 oppure 3^0?


Il problema viene risolto abbastanza agevolmente, ricorrendo alle proprietà delle potenze, ed in particolare al quoziente di potenze di ugual base e di ugual esponente. Esemplificando:


5^3: 5^3= 5^3-3= 5^0 ma 5^3 = 125 e 5^3: 5^3= 125 : 125 =1  quindi 5^0 =1


per cui


n^0 =1, con n diverso da zero. 


Il caso 0^n, con n diverso da zero, viene accettato senza problemi dai ragazzi perché riescono a conferire un senso preciso a situazioni del tipo:


0^5 = 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = 0


Ma come considerare il caso in cui sia la base che l'esponente sono entrambi uguali a zero? In sintesi, qual è il risultato di 0^0?


A questo punto, lascio formulare ai ragazzi le loro ipotesi perché non trovo didatticamente significativo affermare semplicisticamente che 0^0 è una forma indeterminata, così come riportato nel manuale scolastico, e dire loro che ne comprenderanno il significato più avanti, procedendo negli studi.


Le ipotesi che scaturiscono dai ragazzi sono, in genere, le seguenti:

• non lo so;
• 0^0 non ha significato perché non ha senso moltiplicare zero volte lo zero;
• consideriamo, ad esempio, il quoziente 0^3 : 0^3 = 0^3-3 = 0^0 ma 0^3 = 0 quindi  0^3 : 0^3 = 0 : 0 = ad un numero naturale qualsiasi perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà sempre zero come risultato, quindi il risultato non si può determinare.

Beh, io sono soddisfatta così. 
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AGGIORNAMENTO


Juhan informa in un commento di avere pubblicato un secondo post sulla questione:


"...dopo il primo post ne ho pubblicato un altro, per tirare le conclusioni e dire che sì per i computer 0^0 vale 1 ma per me resta indeterminato. Poi con il 'puter giungo a un compromesso ;-)"