La Successione Di Fibonacci E Altre Proprieta' Nel Triangolo Di Tartaglia

Chi non ricorda il triangolo di Tartaglia per averlo studiato alle superiori a proposito del calcolo dei coefficienti del binomio di Newton?

Vi rinfresco un po' la memoria:

la formula esprime lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio qualsiasi. In essa il primo  fattore rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con

Tali coefficienti sono gli stessi che si trovano nel  citato triangolo di Tartaglia, come si può vedere nella seguente tabella che riporta lo sviluppo del binomio sino ad n = 6

Guardate, in questa animazione di Wikipedia, come si costruisce il triangolo:

Capito il meccanismo?

Il triangolo deve il suo nome a Niccolò Fontana (Brescia 1499 - Venezia 1557), soprannominato Tartaglia per un difetto di pronuncia causato da una ferita al volto, riportata durante il saccheggio di Brescia, nel 1512.
Esso compare nel suo "General trattato di numeri et misure", opera enciclopedica di matematica elementare, stampata nel 1560.

Nel 1654, Blaise Pascal scrisse il libro "Le Triangle matématique" dedicato al triangolo di Tartaglia e alle sue proprietà, in particolare nel calcolo combinatorio. Tale studio fu così importante che il famoso triangolo fu ribattezzato come "triangolo di Pascal" e con questo nome è conosciuto in tutto il mondo.

Immagine da Wikipedia en

A rigore, si dovrebbe però parlare di "triangolo cinese" perché il triangolo compare, con il nome di "Tavola del vecchio metodo dei sette quadrati moltiplicatori",  in un antico libro del 1303 dal titolo "Prezioso Specchio dei Quattro Elementi", scritto dal matematico cinese Zhu Shijie.





Il triangolo di Tartaglia, come continuiamo a chiamarlo in Italia, presenta diverse interessanti proprietà. Ad esempio si possono ricavare i numeri della successione di Fibonacci, come si può vedere dall'applet di GeoGebra che ho realizzato. Basta sommare i numeri delle diagonali: dalla prima riga si otterrà 1, dalla seconda riga ancora 1, poi 2, 3, 5, 8, 13, 21...


Ancora, dal triangolo di Tartaglia si possono evidenziare due diagonali di numeri detti triangolari:

Presa dalla rete

Questi numeri 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55...sono detti triangolari perché possono essere rappresentati geometricamente con dei triangoli:

Presa dalla rete

Le potenze di 11: i numeri delle prime cinque righe del triangolo, viste come cifre, danno i seguenti numeri:

1, 11, 121, 1331, 14641, ovvero 11^0, 11^1, 11^2; 11^3, 11^4.

Nelle righe successive, le potenze di 11 si ritrovano, con un'analisi attenta, tenendo conto dei riporti, ma perdendo l'immediatezza delle righe precedenti.

Potenze di 2: le somme dei numeri di ogni riga danno le potenze di 2.

Presa dalla rete

La somma di due numeri successivi nella diagonale 1-3-6-10-15-21-28 ... è un quadrato perfetto (1, 4, 9, 16, ecc.)


Quando il primo numero a destra di 1, in ogni riga, è un numero primo, tutti i numeri della riga sono divisibili per tale numero primo.

Mi fermo qui, ma non sono finite le sorprendenti proprietà del triangolo di Tartaglia. Altre ne potrete trovare alla pagina di Wikipedia.