Andiamo per gradi e, intanto, iniziate con l'osservare la sequenza numerica presente nel logo del Carnevale della Matematica di Matem@ticaMente!
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Li avete osservati bene? Sono otto e precisamente:
1; 9; 31; 75; 149; 261; 419; 631
Gli otto numeri sono stati ottenuti dalla seguente formula:
(4n^3-3n^2+5n-3)/3
per n= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Applico la formula per n = 1
(4 x 1^3 - 3 x 1^2 + 5 x 1 - 3)/3 = (4 - 3 + 5 - 3)/3 = 3/3 = 1 (il primo numero della sequenza)
Per n = 2
(4 x 2^3 - 3 x 2^2 + 5 x 2 - 3)/3 = 4 x 8 - 3 x 4 + 10 - 3)/3 = (32 - 12 + 10 - 3)/3 = 27/3 = 9 (il secondo numero della sequenza)
Per n = 3
(4 x 3^3 - 3 x 3^2 + 5 x 3 -3)/3 = 31
Per n = 4
(4 x 4^3 - 3 x 4^2+ 5 x 4 - 3)/3 = 75
Per n = 5
(4 x 5^3 - 3 x 5^2+ 5 x 5 - 3)/3 = 149
Per n = 6
(4 x 6^3 - 3 x 6^2+ 5 x 6 - 3)/3 = 261
Per n = 7
(4 x 7^3 - 3 x 7^2+ 5 x 7 - 3)/3 = 419
Per n = 8
(4 x 8^3 - 3 x 8^2+ 5 x 8 - 3)/3 = 631
Ma la sequenza non finisce qui perché i suoi termini sono stati calcolati per
n = 1...10000.
Vi riporto di seguito i numeri della sequenza per n = 1...39
1, 9, 31, 75, 149, 261, 419, 631, 905, 1249, 1671, 2179, 2781, 3485, 4299, 5231, 6289, 7481, 8815, 10299, 11941, 13749, 15731, 17895, 20249, 22801, 25559, 28531, 31725, 35149, 38811, 42719, 46881, 51305, 55999, 60971, 66229, 71781, 77635...
Se siete curiosi di vedere la lista completa dei 10000 numeri della sequenza, andate a questo link:
Per n = 10000 = 10^4, otteremo l'ultimo numero della sequenza che è:
(4 x 10^12 - 3 x 10^8+ 5 x 10^4 - 3)/3 = 1333233349999
Un numero enorme!
Non preoccupatevi, ragazzi! A noi interessano soltanto i primi otto numeri della sequenza: 1; 9; 31; 75; 149; 261; 419; 631
Sono numeri abbordabilissimi e sono i nostri numeri portafortuna!
La sequenza, infatti, ci è stata regalata qualche anno fa dal suo autore, il nostro geniale amico Bruno Berselli, che è anche l'autore del logo, che vedete in apertura del post.
Vi riporto le sue parole (prese da un commento al Carnevale della Matematica #25, dove commenta con il nickname Bierreuno), con cui ci annuncia il suo graditissimo regalo:
"Quella sequenza che vedi nel disegno l'ho 'inventata' proprio mentre stavo pensando al tuo logo, è collegata alle quarte potenze dei numeri naturali. L'ho corredata di alcune note tecniche e l'ho proposta a Neil Sloane di Oeis, eccola qui".
Ma chi sono Neil Sloan ed Oeis?
Ve lo dico brevemente!
Oeis è l'acronimo di The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ovvero la prestigiosa Enciclopedia online delle sequenze di numeri interi.
La potete trovare al seguente link: http://oeis.org/
Oeis annovera (in data 2 dicembre 2011) 200000 sequenze numeriche, come potete verificare a questo link: http://oeisf.org/press3.pdf
Neil Sloane (http://en.wikipedia.org/wiki/Neil_Sloane) è il celebre matematico britannico che ha creato e cura Oeis!
La "nostra" sequenza numerica è presente su Oeis con l'identificativo A177342, e la potete trovare a questo link: http://oeis.org/A177342
Di seguito, potete vedere i grafici associati alla sequenza A177342, presi da qui http://oeis.org/A177342/graph:
A questo link potete ascoltare la musica della sequenza: http://oeis.org/play
Molto interessante questo post ma un po' complesso.
RispondiEliminaCiao prof a domani.
Soltanto a prima vista, Matilde! Domani, ne parleremo e vedrai che non lo è affatto:)
RispondiEliminaBuona scuola alla professoressa e agli alunni.
RispondiEliminaCiao Annarita, un abbraccione a te e ai tuoi alunni.
Proprio un bel regalo da parte Bruno Berselli.
RispondiEliminaSarebbe interessante conoscere meglio le note tecniche a corredo. Su Oeis il commento dice che la sequenza è collegata alle quarte potenze: mi piacerebbe sapere in che modo sono collegate le due sequenze e soprattutto da cosa è nata la sequenza di Berselli, ovvero se collegata ad un'esigenza matematica pratica o è il semplice frutto di "virtuosismo algebrico".
Complimenti comunque al signor Berselli per la pubblicazione su Oeis.
Un saluto
Marco
è vero non è difficile per niente ma è interessante.
RispondiEliminaCiao prof.
Anche secondo me il post è complesso e un po' difficile da comprendere spero ne riparleremo meglio in classe!!
RispondiEliminaA lunedì prof||:):):)
sono d'accordo con matilde così a prima vista sembra ... impossibile! :)
RispondiElimina@Marco: ho inoltrato il tuo commento a Bruno. Mi auguro che risponda.
RispondiEliminaUn saluto a te.
Annarita
Ero sicura che avresti cambiato idea, Mati.
RispondiEliminaA domani!
Sara, se ci sarà tempo, riprenderemo il discorso in classe.
RispondiEliminaA lunedì!
...soltanto a prima vista, Camilla! Matilde ha cambiato idea;)
RispondiEliminaCara Rosaria, grazie dell'augurio e dell'abbraccio, che io e i miei alunni apprezziamo moltissimo e ricambiamo.
RispondiEliminaAnnarita
si mi può dire l'ultimo numero perfavore sono curiosissima
RispondiEliminaCamilla, il numero che hai richiesto è già indicato nel post. Cercalo, pigrona!
RispondiEliminaagli ordini!!!
RispondiEliminawow me lo aspettavo più piccolo
RispondiEliminaIn effetti, è un numero enorme!
RispondiEliminaUn ringraziamento a tutti per l'interessamento e ad Annarita per la sua proposta.
RispondiEliminaDico qui due parole a Marco, che estendo naturalmente anche agli altri bravi lettori.
Intanto, Marco, ti faccio i miei complimenti per i tuoi siti e per la passione con cui ti occupi di matematica ;)
Riguardo alla sequenza, posso dirti che il "virtuosismo algebrico" non porta molto in là, secondo me. Dietro a quei numeri, di fatto, c'è uno studio su certe ricorrenze di cui avevo cominciato a parlare nel 2008 proprio qui, in Sequenze numeriche e procedimenti ricorsivi, ricorrenze che permettono di collegare fra loro diverse sequenze importanti.
Si tratta comunque di concetti piuttosto semplici, all'altezza di uno studente delle scuole medie superiori (forse anche di primo grado). D'altra parte, mi sono accorto che in OEIS le cose più interessanti hanno spesso una natura semplice, anche se... 'natura semplice' non significa che tutti possano vederle senza che qualcuno gliela indichi ;)
Ancora un grazie a tutti :D
Bruno
Bruno, sono io a ringraziare te per l'opportunità che hai offerto a me e ai miei ragazzi di riflettere su aspetti numerici così interessanti. Anche se molto giovani, sono riusciti a cogliere la bellezza di certi concetti matematici contenuti nelle sequenze numeriche che hanno avuto modo di conoscere.
RispondiEliminaUn saluto grato da tutti noi.
Annarita:)
@ Bruno
RispondiEliminaIntanto grazie 1000 per la risposta e grazie per i complimenti che fatti da te fanno davvero piacere.
Sul virtuosismo algebrico sono completamente d'accordo con te; non porta a niente ed addirittura potrebbe sviare rispetto alla semplicità di un ragionamento logico che abbiamo davanti ma che non riusciamo a cogliere. Ero quindi certo che la tua sequenza "chiocciola" avesse un fondamento logico-matematico ben preciso. Mi mancava (perchè non ho saputo coglierlo) ed è per questo che ho chiesto lumi, lumi che sono stati più che soddisfacenti grazie al post che mi hai linkato e che spiega molto bene come la sequenza sia nata.
Qui da Annarita sono di casa (nel senso che vengo spesso a rompere le scatole) ma il post linkato mi era sfuggito.
Devo farti i complimenti prima di tutto per la pubblicazione della sequenza su OEIS (una bella soddisfazione), ma anche per il modo con cui hai spiegato il tuo ragionamento e la conclusione a cui ti ha portato.
Non è semplicissimo mettere nero su bianco i ragionamenti logici, ma tu l'hai fatto in modo chiaro e soprattutto semplice da comprendere anche per chi non ha una preparazione di base particolarmente ampia.
Come avrai capito anche io sono affascinato dalla Matematica in genere ed al guazzabuglio di numeri che sembrano esser messi lì a caso ma che invece hanno logiche ben precise. E che soddisfazione deve essere scoprire quelle logiche!
Mi hai dato ulteriori motivi per apprezzare i numeri poligonali, numeri che a quanto ho visto possono nascondere bellissime sorprese, oltre al fatto che hai messo bene in evidenza un'arma molto potente (se ben usata) che è il procedimento ricorsivo, arma che può essere utilizzata in infinite situazioni.
Insomma, ho fatto bene a fare qualche domanda in più; il risultato è che ne esco soddisfatto e con maggior consapevolezza.
Ti ringrazio per questo e per la tua gentilezza nel rispondere e soddisfare la mia curiosità.
Un saluto
Marco
PS:
E' capitato anche a me qualche volta di pensare di essermi scontrato con qualche serie numerica nuova, ma OEIS mi ha riportato immediatamente con i piedi per terra. Però mi sono divertito e conto di continuare a farlo.
Molto bravo, Marco: un raro incontro di consapevolezza e passione ;)
RispondiEliminaPensa che non c'è una sola parte della matematica da cui non si possa ottenere (o non sia stata ottenuta) qualche sequenza di numeri interi interessante.
Riguardo al tuo 'poscritto', penso che sia enormemente più importante essere consapevoli di ciò che si sta facendo, anche riscoprendo cose già trovate da altri, senza mai smettere di divertirsi.
Un caro saluto a tutti,
Bruno
prof, avrei una curiosità: quanto ci ha messo Bruno a inventare questa sequenza?
RispondiEliminaQuesto non lo saprei dire, Camilla! Se Bruno dovesse leggere, ti risponderà di persona!
RispondiEliminaCamilla, ciao ;)
RispondiEliminaSai, non so proprio dirti in quanto tempo ho trovato quella sequenza, per almeno due ragioni. La prima è questa: quando ti diverti il tempo passa in fretta e un'ora può sembrarti un minuto, un giorno una mezzora. Potrei dire di averci messoo dieci minuti e magari l'ho trovata dopo un giorno ;)
L'altra ragione è legata al fatto che dietro a quella sequenza, per quanto semplice e meno rilevante di moltissime altre, c'è comunque uno studio che fa parte della genesi di quei numeri, perciò il "quanto ci ha messo Bruno" deve tener conto anche del tempo assorbito da quello studio.
Be', ora ti saluto con una sequenza, quella che oggi mi piace considerare la *tua* sequenza - anche se naturalmente sei libera di cambiarla con un'altra ;)
Eccola: 3,1,11,9,10,10,1,3,1,11,9,10,10,1,3,1,11,9,10,10,1,3,1,11,9,10,10,1,...
E' formata da sette numeri che si ripetono all'infinito (3,1,11,9,10,10,1) e dietro a ciascuno di questi numeri c'è una lettera del tuo nome (ho utilizzato il nostro alfabeto). E' un po' come se la sequenza dicesse "Camilla, Camilla, Camilla, ...", la senti anche tu? ;)
Se adesso io mi chiedessi (è bello farsi delle domande): al primo posto c'è 3, al settimo c'è 1, al quindicesimo c'è ancora 3, ma che cosa troverò al trecentoquarantasettesimo posto? (Fra parentesi, 347 sono i giorni trascorsi dall'inzio di quest'anno fino a oggi.)
Camilla, hai un'idea di cosa potresti fare per sapere con sicurezza quale numero si trova in quella posizione senza dover contare tutti i termini?
Sono sicuro di sì, però pensaci senza fretta.
Un saluto a te e a tutti,
Bruno
Molto interessante questo post!:-)
RispondiEliminaMolto carina la sequenza "Camilla"! :-)
Io per comporre una sequenza ci metterei un mese come minimo..........
Complimenti Bruno!!
Ciao prof. :-)
Giorgia non puoi dire così in quanto non ci hai mai provato!;)
RispondiEliminaPotrebbe essere diversamente da come pensi. Provando...chissà!;)
A lunedì:)
grazie Bruno per la sequenza che mi ha dedicato proverò a risolvere l'indovinello
RispondiElimina