Vi propongo il triangolo di numeri dispari, che osservate qui a lato.
Questa è la consegna:
Determinare la somma dei numeri presenti sulla centesima riga. Ovviamente non dovete scrivere tutte le righe sino alla centesima e poi calcolarne la somma! Sarebbe da matti. Si tratta di trovare la regolarità presente nelle righe del triangolo dato, in base alla quale calcolare con facilità la somma della riga richiesta.
Successivamente, generalizzare la regoletta per l'ennesima riga!
E' tutto chiaro? Suvvia, cimentatevi:).
Come al solito, è richiesto di giustificare il risultato cui perverrete.
Gentile Professoressa,
RispondiEliminae' stato divertente e stimolante fare l'esercizio con mia figlia di 11 anni (ha appena fatto il m.c.m. a scuola)
ma non so come formalizzare meglio e mi piacerebbe saperlo ma il senso del nostro ragionamento e' stato questo:
NR= Numero di riga
ER =Totale elementi della riga
PR= Primo numero della riga
UR= Ultimo numero della riga
ER=NR
PR = NR^2-(NR-1)
UR = NR^2+(NR-1)
Somma dei numeri della riga = (PR+UR)/2 * ER =[NR^2-(NR-1) +NR^2 +(NR-1)]/2 * ER = 2NR^2/2 * ER = NR^2 * ER = NR^2* NR
Somma dei numeri della riga = NR^3
(I tanti passaggi sono queli fatti con Elisa per capire bene)
quindi il numero medio di una riga e' il quadrato del numero di riga
e la somma dei numeri della riga è il cubo del numero di riga
Ci fa sapere se abbiamo ragionato bene e come dovrebbe essere formalizzato?
C'entrano nulla i numeri triangolari o i numeri quadrati i nqualche modo in questa successione di numeri dispari?
Grazie della risposta che so ci fornirà e di tutto il tempo che spende per questo sito e per i ragazzi.
Io mi ci sto appassionando perchè i numeri da bambino mi davano sicurezza (forse sono un po' rigidi ma non cambiano e non tradiscono mai) in oramai lungo periodo di grande incertezza.
con affetto
Sergio Pagano
Allora...
RispondiEliminaSecondo me questa potrebbe essere la soluzione:
1
3+5=8=2^3
7+9+11=27=3^3
13+15+17+19=64=4^3
21+23+25+27+29=125=5^3
31+33+35+37+39+41=216=6^3
Percio'....
.......(centesima riga)=100^3=1000000
Spero sia esatta!
Benvenuto, signor Pagano. Grazie della partecipazione e dell'apprezzamento. Il suo ragionamento è sostanzialmente corretto. La formalizzazione richiesta è in realtà la concretizzazione di una semplice formuletta che non richiede i tanti passaggi svolti da lei e la sua bambina. In ogni caso, l'analisi svolta è sempre positiva.
RispondiEliminaTerrò il suo commento in moderazione fino a quando non avranno risposto anche i miei ragazzi.
A presto!
Annarita Ruberto
Chiara, il ragionamento che hai fatto è corretto, ma prova ad andare oltre la centesima riga per trovare la formuletta generale, valida per l'ennesima riga.
RispondiEliminaBrava!
Spero di non sbagliare ma penso di aver trovato la soluzione. Secondo me la soluzione è 1'000'000. perchè la seconda riga è formata da 2 numeri. Se elevo il 2 alla 3 ottengo 8 che è uguale alla somma dei numeri che compongono la seconda riga. Stessa cosa per la terza riga 3x3x3=27 se sommo 7+9+11 ottengo 27. Quindi se la centesima riga è formata da 100 numeri avrò 100x100x100 = 1'000'000.
RispondiEliminaBravo anche tu, Daniele, ma prova ad andare oltre come ho già consigliato di fare a Chiara. Leggi il commento di risposta che ho lasciato alla tua compagna di 3°B.
RispondiEliminaCi provo...
RispondiEliminaAllora, la "media" dei numeri della seconda riga è 4(2*2), della terza è 9(3*3), della quarta è 16(4*4) e della quinta 25(5*5)
ciò significa che la media dei numeri della centesima riga è 10'000(100*100) e se nella centesima riga ci sono 100 numeri dispari, la somma dei numeri della centesima riga è 1'000'000(10'000*100).
In alternativa si possono calcolare i cubi...
la somma dei numeri della seconda riga è 8(2^3), della terza è 27(3^3), della quarta 64(4^3), della quinta 125(5^3) fino alla centesima 1'000'000(100^3).
Bravo Simone...e della ennesima riga? Ma non leggete i commenti? Sto cercando di dirvi che il quesito richiede anche la generalizzazione alla ennesima riga.
RispondiEliminaintende questo?
RispondiEliminala somma dei numeri della riga n =n^3
Sì, Simone! Perfetto:)
RispondiEliminaAllora prof. ho avuto l'illuminazione(mentre guardavo la TV).Allora ho notato che i risultati della somma delle righe sono tutti cubi perfetti del numero della riga stessa(riga 1 è 1 riga 2 8 riga 3 27 etc...).Quindi facendo il cubo perfetto di 100 il risultato è...1000000.In questo modo è facile determinare anche la somma delle altre righe...Per esempio la somma della riga 101 sarà 1030301 e cosi si puo procedere.
RispondiEliminaLuca, è corretta anche la tua soluzione, ma non hai svolto la seconda parte della richiesta.
RispondiEliminaLeggevo i commenti...
RispondiEliminaGeneralizzare è un po' ostico, ma piano piano...
Bravo Simone e bravi comunque anche gli altri che hanno risposto alla prima parte del quesito.
Bravo anche quel papà per due motivi:
1) perché si diverte con la figlia
2) perché chiede aiuto per una formalizzazione corretta; dopo tutto gli insegnanti ci sono per questo ed è meglio rivolgersi a loro piuttosto che, malgrado le buonissime intenzioni, "confondere le acque".
Un salutone
Proprio così, Marco. La generalizzazione è un processo ancora ostico a questa età. I ragazzi sono stati, comunque, molto bravi.
EliminaConcordo circa le tue considerazioni riguardanti il signor Pagano.
Un salutone ed ancora in bocca al lupo anche a te per domani:)
Salve , sono Francesco. Vorrei segnalarvi che c'è anche il triangolo dei numeri pari, e quello dei numeri naturali, con loro particolari proprietà (una di queste è la connessione con i quadrati magici). Abbiamo pubblicato di recente un lavoro su questo argomento, sul nostro sito di matematica amatoriale http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/. sezione "Teoria delle stringhe e teoria dei numeri" Grazie per l'attenzione, e buona lettura! Francesco
RispondiElimina