Congettura Dei Numeri Primi Gemelli: Svolta Verso La Sua Comprensione

Crivello di Eratostene. Fonte: Wikimedia Commons.

Il 17 aprile scorso arrivava nella casella di posta degli Annals of Mathematics un documento scritto da un matematico praticamente sconosciuto agli esperti nel suo campo, docente presso l'Università del New Hampshire di nome Yitang Zhang. Nel documento veniva indicato un importante progresso, addirittura una svolta, nella comprensione di uno dei più antichi problemi della matematica, la congettura dei numeri primi gemelli, proposta per la prima volta da Euclide nel 300 a.C.

Naturalmente, la notizia ha avuto una grande eco all'interno della comunità matematica: un risultato eccezionale, conseguito in solitudine da un ricercatore il cui talento era stato trascurato a tal punto che, dopo il conseguimento del dottorato nel 1992, aveva trovato difficoltà ad ottenere un lavoro accademico e che aveva  lavorato per diversi anni come ragioniere anche in un negozio di panini della metropolitana! La cosa non mi stupisce affatto. Di tali situazioni è piena la letteratura...non solo di casa nostra.

Zhang

Zhang ha presentato la sua ricerca “Bounded gaps between primes”, il 13 maggio alla Harvard University di Cambridge, Massachusetts, dove è stato invitato in fretta e furia a tenere una conferenza, e il fatto che il lavoro sembra utilizzare tecniche matematiche standard ha portato alcuni a chiedersi se Zhang possa essere davvero riuscito dove altri hanno fallito.
Il documento non è ancora disponibile al pubblico, ma, secondo le notizie diffuse, sembra che sia tutto a posto.

Ma vediamo di cosa si tratta! I numeri primi sono numeri affascinanti su cui si è focalizzato lo studio di molti matematici nel corso degli anni. Come si sa, essi sono quei numeri divisibili soltanto per se stessi e per 1, e sono tutti dispari fatta eccezione per il più piccolo di essi, il 2.


Considerando p1, p2, ... numeri primi in ordine crescente, sappiamo che tale elenco è un infinito numerabile (L’insieme infinito dei numeri interi è il primo livello di infinito, definito da Cantor ‘aleph-zero’, o Infinito Numerabile). Un intervallo tra numeri primi è rappresentato da un intero pn +1- pn. Il Teorema dei numeri primi afferma che pn +1- pn è circa il ln(n) per n che tende all'infinito.

Veniamo ai numeri primi gemelli, definiti come due numeri primi che differiscono tra loro di 2. Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono (5 e 7), (11 e 13), (41 e 43), (821 e 823).

La congettura dei numeri primi gemelli, che costituisce da anni uno dei più grandi problemi aperti della Teoria dei numeri, afferma che:

lim inf(pn +1- pn) = 2
n → ∞
vale a dire che ci sono infinite coppie di numeri primi gemelli che differiscono soltanto di 2 unità.

Una generalizzazione della citata congettura, attribuita ad Alphonse de Polignac, afferma che, per ogni numero intero positivo k, esistono infinite coppie di numeri primi che differiscono di 2k. Il caso k = 1 è la congettura dei primi gemelli.

Vi è anche una versione più forte, la congettura di Hardy-Littlewood, che postula una legge sulla distribuzione dei primi gemelli analoga al teorema dei numeri primi.


La  domanda fondamentale è se esiste una costante C in modo che pn +1- pn<C per un numero infinito di volte. Ora, per la prima volta, sappiamo che la risposta è affermativa...ovvero quando C = 7 × 10^7.

Il 13 maggio 2013, Yitang  Zhang ha annunciato, infatti, la sua prova in base alla quale risulta che ci sono infinite coppie di numeri primi distanti l'uno dall'altro meno di 70 milioni, una distanza che secondo il ricercatore può essere ulteriormente ridotta.

Certamente il valore di 70 milioni è molto lontano dal 2 della Congettura dei numeri primi gemelli e per alcuni matematici come Daniel Goldstone il valore trovato da Zhang non potrà essere ridotto a 2. Per altri matematici più ottimisti si tratta invece di raffinare ed ottimizzare i calcoli, pensando che arrivare a 2 è solo una questione di tempo. Chi vivrà vedrà!

70 milioni e  2, lo ribadisco, sono numeri molto diversi, ma il lavoro di Zhang  dimostra che c'è un limite alla distanza tra due numeri primi all'interno dell'infinità dei numeri primi, e questo non era mai stato provato prima. Inoltre, il limite di 70 milioni sembra enorme, ma, considerando che il più grande numero primo conosciuto è formato da 17 milioni di cifre, tale distanza non è poi così grande, in termini di numeri con cui i matematici hanno a che fare.

Un bel colpo quello messo a segno da Zhang, insomma!


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FONTI CONSULTATE:

http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989

http://simonsfoundation.org/features/science-news/unheralded-mathematician-bridges-the-prime-gap/

http://phys.org/news/2013-05-mathematician-infinitely-pairs-prime-million.html