Eversione Della Sfera E Paradosso Di Smale

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Con l'espressione "eversione della sfera" ci si riferisce, in Topologia differenziale, al fatto non intuitivo che è possibile "rovesciare" una sfera (vuota), e "rivoltarla" come un guanto, in uno spazio tridimensionale con eventuali autointersezioni ma senza creare alcuna piega, per mezzo di una deformazione continua. 

È sottinteso che è impossibile ottenere tale trasformazione con una sfera fisica e che ci stiamo riferendo ad una sfera matematicamente idealizzata, vero? Meglio precisarlo...non si sa mai;)


Veniamo al Paradosso di Smale.

Stephen Smale dimostrò, nel 1958, che l'eversione di una sfera è possibile in teoria, motivo per cui il risultato è noto come paradosso di Smale. Tuttavia, ciò non risolve il problema di trovare una omotopia esplicita, cioè, detto in parole povere, un modo esplicito per trasformarse la sfera nella sua versione dentro-fuori.
Trovare una eversione esplicita ha impegnato negli anni diversi matematici, tra cui Bernard Morin (nel 1978), non vedente, la qualcosa è piuttosto sorprendente e ci fa comprendere in che maniera controintuitiva, dal punto di vista visivo, possa rivelarsi una eversione.

Per approfondire il concetto di omotopia consultate questo link di Wikipedia. Di seguito una omotopia tra una tazza e una ciambella (da Wikipedia). Impressionante, vero?

Prima di addentrarci in una breve storia dell'eversione della sfera, guardate il bel filmato "Outside In" della durata di 21 minuti, completamente generato al computer.


Non trovate che sia qualcosa di affascinante? 

Torniamo alla nostra piccola cronistoria! 

Nel 1958, Smale dimostra un teorema generale sulle immersioni locali regolari, da cui segue che è possibile rovesciare la sfera, senza riuscire a dare nessuna descrizione esplicita del rovesciamento...e lasciando, pertanto, increduli molti matematici.

Nel 1961, Arnold Shapiro riesce a descrivere eplicitamente un rovesciamento,
ma non pubblica questo risultato, che verrà pubblicato da George Francis e Bernard Morin molti anni dopo (1979).

Nel 1966, Tony Phillips studia l'eversione di Shapiro e la comunica al grande
pubblico (matematico e non) in un articolo su "Scientific American" (si scoprirà poi che  si tratta di un'altra eversione). 

Nel 1977, Nelson Max realizza la prima animazione al computer di un'eversione semplificata proposta da Bernard Morin nel 1967.

Nel 1978, Bernard Morin rielabora il suo metodo per il rovescimento della sfera, fornendo per la prima volta una descrizione completa dell'eversione in termini di equazioni algebriche.

Nel 1992, François Apéry  costruisce una nuova eversione algebrica che utilizza il minimo numero possibile di modicazioni; tutte le eversioni della sfera considerate fin qui hanno come stadio centrale un'immersione locale regolare tale che punti antipodali hanno la stessa immagine.

William Thurston (metà anni '70 - 1995) fornisce una dimostrazione costruttiva del teorema di Smale, basata sull'idea di "corrugazione", che consente di costruire esplicitamente nuove eversioni della sfera.

 

Eversione della sfera in 9 passaggi, secondo Thurstone. Fonte

G. Francis, R. Kusner, J. Sullivan, K. Brakke, C. Hartman e G. Chappell (1995 - 98) scoprono che si possono costruire eversioni in modo "automatico" a partire da uno stadio centrale simmetrico, seguendo il gradiente dell'energia di Willmore.

Fine della cronistoria. Se siete interessati al Teorema di Smale, lo troverete in questo documento in lingua italiana, da cui ho estratto faticosamente la breve cronistoria prima riportata.

La dimostrazione originale di Smale era quindi indiretta: egli identificò (omotopia regolare) classi di immersioni di sfere che si possono svolgere per produrre una omotopia regolare esplicita, ma tutto ciò non è facile a farsi.

Quello di Smale è considerato un paradosso veridico (esso in genere non compare nella letteratura matematica tradizionale): non c'è mai stato un paradosso storico associato all'eversione della sfera di Smale, ma semplicemente un apprezzamento delle sottigliezze concettuali di visualizzazione da parte di coloro che hanno affrontato l'idea per la prima volta. 

Un'altra bella immagine dell'eversione.

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