Vediamola allora questa gif.
E leggete, se ne avete voglia, la spiegazione in inglese:
The name of this fractal tree derives from the fact that it is a binary tree in which the size of each parent node (a) is connected to that of two children nodes, left (c) and right (b), by the Pythagorean theorem:
a^2 = b^2 + c^2
Each square has a side in common with a right triangle, which in turn has the other two sides in common with other two squares, and so on.
In the gif, the triangles have the acute angles equal to 30° and 60°, and the angles are arranged in the same direction.
The tree can be achieved by the composition of rotations and homotheties, with fixed centers.
Seen that each square, in each step, generates two square, the number of squares added to step n is 2^n.
At each step, the perimeter increases, in particular, by a factor:
1/2 + (√ 3) / 2
The triangle with the acute angles equal to 30° and 60° is in fact half of an equilateral triangle that has side equal to the starting square.
Pythagoras tree therefore has infinite perimeter.
For the Pythagorean theorem, the sum of the areas of the squares added in each step is equal to the starting square area, which for convenience we can set equal to 1.
The area thus seems to become infinite, when the number of steps tends to infinity; instead already from the fifth passage the figure folds in on itself, remaining enclosed in a limited area.
Pythagoras tree therefore has infinite perimeter and limited area.
The structure that we observe in normal scale is repeated many times within the smaller scale, and we can find it whatever the power of the magnifying glass we use (auto-similarity).
The endless vertices of Pythagoras tree, when the length of the sides tends to zero, they are all angular points, so you can not find any "regular" area that admits tangent.
For English speakers, read more:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_tree_(fractal)
http://library.thinkquest.org/26242/full/types/ch11.html
http://mathworld.wolfram.com/PythagorasTree.html
Per i lettori italiani, approfondire a questi link:
http://www.frattali.it/alberopitagora.htm
https://sites.google.com/site/matematicastatisticadinamica/albero-di-pitagora
http://www1.mat.uniroma1.it/didattica/ssis/laboratorio-di-informatica/0708/Branca/pagina6.htm
Al seguente link, una bella animazione con le prime fasi dello sviluppo dell'albero di Pitagora:
http://www.maecla.it/tartapelago/frattali/alberopitagora/alberopitagora.htm
A quest'altro link potete creare, muovere e variare alberi di Pitagora grazie ad un programma Java, realizzato dal mio amico Guzman Tierno:
http://www.guzman.it/temi/frattali/albero/albero.html
Concludo con il bel filmato "A Year in the Life of a Pythagoras Tree":
Cara Annarita, ho visitato i link da te consigliati.
RispondiEliminaMi son goduto il video e il bellissimo albero di Pitagora.
Un abbraccio ciao!
Mi fa piacere che tu abbia potuto intravvedere la bellezza degli alberi di Pitagora attraverso i link ed il video che ho consigliato.
EliminaRicambio l'abbraccio. Ciao.
Ciao Annarita, bel post.
RispondiEliminaTempo fa avevo fatto un programmino java che permetteva di creare, muovere e variare alberi di pitagora e simili.
Lo puoi provare qua se vuoi:
guzman.it/temi/frattali/albero/albero.html
ciao,
abbracci!
guz.
Già provato, Guz. Fantastico!. Ho aggiornato il post con il link al tuo lavoro.
EliminaAbbracci a te e Maria Carla. Bacioni a Luca e Linda, che sono diventati due splendori.
Annarita
Belli questi frattali ....si chiamano alberi pitagorici?
RispondiEliminaOsservando i contorni mi viene alla mente un famoso dipinto del pittore giapponese Hokusai...
Brava anche Annarita che ne ha dato la dimostrazione matematica!!
Un abbraccio
Aldo
Proprio così, Ado: si chiamano alberi di Pitagora;)
EliminaGrazie dell'apprezzamento.
Ricambio l'abbraccio.
Ottima risorsa con annessa carrellata di link.
RispondiEliminaIo però mi son lasciato distrarre dalle foto dei bimbi di Guzman... che spettacolo! Oh, poi non è che sia proprio del tutto OT: come cresce l'albero pitagorico, di la crescono bimbi. M'è piaciuta l'aria che si respira nel blog
Posso immaginarlo che i bimbi ti abbiano distratto. Sono uno splendore.
EliminaIl frattale di Guzman col triangolo rettangolo isoscele assomiglia di più ad un albero, ma quello usato da Annarita con gli angoli di 30° e 60° , più lo guardo nella sua dinamicità e più vedo, come una istantanea, il famoso quadro : La grande onda di Kanagawa del pittore giapponese Katsushita HOKUSAI (Tokio 1760- 1849) qui di seguito si possono vedere 36 delle sue grandi opere:
RispondiEliminahttp://zirconet.wordpress.com/2010/12/28/la-grande-onda-di-katsushika-hokusai/
La caratteristica di queste sue grandi opere è quella di avere come elemento comune ( in tutte), il grande vulcano, il Monte Fuji sempre sullo sfondo, che, se osservato bene, appare all’orizzonte come un triangolo geometrico dal quale tutto sembra poi originarsi e prendere forma in tutti quei contorni frastagliati della natura da Lui abilmente voluti e dipinti, direi, esattamente come una progressiva geometria frattale.
Questo mi riporta alla memoria, la curva scolastica di Koch :
http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_di_Koch
Che si ricollega alla geometria frattale dei cristalli di neve…incredibile come nella natura sia già da milioni di anni contenuta questa geometria:
http://it.wikipedia.org/wiki/Neve
Gli artisti, spesso quelli più strani, hanno sempre estrapolato dal loro DNA e, per primi, quegli input che hanno fornito, come Madre natura,la base di partenza alle teorie dei futuri matematici.
Un abbraccio.
Aldo
Caro Aldo, bellissimo ed istruttivo questo tuo excursus tra Arte e Geometria!
EliminaNon avevo avuto occasione di citare il celebre quadro "La grande onda di Kanagawa" nei miei post, mentre ho già trattato la curva di Koch in questo post di alcuni anni fa.
Ti ringrazio molto per questo colto commento.
Un abbraccio
Annarita
Non solo tra Arte e Geometria Annarita, ma tra:
RispondiEliminaNatura, Geometria, Arte e Matematica…..mi spiego:
non c’è differenza tra un vulcano naturale, il triangolo-vulcano di Hokusai, il triangolo di Kock, quello di Guzman e il tuo Annarita,.. perché ?.. Ma perché un vulcano naturale quando erutta con le sue nubi ardenti, nei vari tipi di eruzioni, formano una geometria dinamica frattale tridimensionale sin dalla notte dei tempi, per questo rimaniamo, nonostante la consapevole gravità del fenomeno, comunque ipnotizzati dal fascino di queste fantastiche eruzioni :
http://www.didascienze.it/eruzioni_vulcaniche.html
Queste eruzioni hanno risvegliato in Hokusai la geometria frattale contenuta in forma dormiente nel DNA del pittore giapponese, una matematica contenuta nei codici naturali delle cose sin dalla fondazione del mondo.
Non so se Hokusai nei suoi 79 anni di vita abbia visto il Monte Fuji eruttare o altri vulcani molto presenti nelle isole giapponesi, ma questo potrebbe aver risvegliato inconsapevolmente in Lui la geometria frattale!
Se immaginiamo per un istante il vulcano di Hokusai, che si vede sempre presente sullo sfondo dei suoi dipinti, eruttare con colate esplosive piroclastiche sui fianchi del Monte Fuji e per effetto domino anche lungo i suoi piedi della campagna circostante, o in foma eruttiva Pliniana che s’innalza a fungo sopra il cratere, la dinamica della geometria bidimensionale frattale che ne scaturisce dai dipinti di Hokusai nei contorni delle nuvole, nelle chiome degli alberi, nei laghi , nelle case, nella fauna e nelle persone, non sarebbe poi così diversa da quella dal triangolo di partenza della curva di Koch che inizia la sua “esplosione geometrica piroclastica”, proprio a partire dai fianchi e dalla linea di base del triangolo stesso….non vi pare che sia proprio così?
Cosa voglio dire, questo è l’effetto domino: La natura ha risvegliato, nella sua forma dinamica tridimensionale, la geometria frattale liberando da sempre le nubi piroclastiche nell’aria circostante e nella natura sottostante, ma carpiata poi, come un risveglio da un sonno ipnotico, dall’arte di Hokusai che l’ha riprodotta in forma costruttiva bidimensionale dentro i suoi quadri i quali, a loro volta, hanno attirato altri artisti come Manet, Monet, Van Gogh, Renoir e molti altri e attirano tutt’ora l’attenzione mista ad ammirazione, un’arte carpita quindi e solo successivamente, come un effetto domino subliminale, dalla mente matematica di Von Koch per esempio….per questo gli alberi di Guzman, come la grande onda pitagorica di Annarita attirano e attireranno sempre una certa ammirazione e hanno anche risvegliato in me la memoria dormiente.
Un abbraccio.
Aldo
Completamente d'accordo, Aldo. Grazie ancora di questo magnifico commento. Mi permetto soltanto di rilevare che la Geometria è parte della Matematica:)
EliminaUn abbraccio
Annarita
Annarita vedo che hai fermato questo post....spero tutto bene nonostante i problemi ....
RispondiEliminaPensavo ad una cosa ..la butto qui così.
Se al famoso fiocco di neve di Koch si pone una variante,ovvero,anziché iterarlo con triangoli sempre rivolti all'esterno venisse iterato ad infinitum in modo alternato partendo dalla costruzione di tre triangoli esterni ( che formano la stella di David) per proseguire con gli altri triangoli verso l'interno e poi con i seguenti verso l'esterno e così via, facendo seguire ad ogni espansione dei triangoli una successiva contrazione si dovrebbe pervenire ad una forma geometrica frattale che si potrebbe confrontare poi a quale cristallo di neve potrebbe avvicinarsi.......ma questo e' un lavoro adatto a Marco semmai ne avesse voglia prima di ricominciare il nuovo anno scolastico, ma senza alcun obbligo e' chiaro!
Un abbraccio
Aldo
Aldo, ti ho spiegato privatamente il motivo per cui sono ferma a questo post. Spero di riprendere al più presto.
EliminaInteressante la tua idea...per quanto riguarda Marco ed il suo interesse riguardo al tuo input, non saprei dirti. Dovrebbe rispondere l'interessato nel caso dovesse essere interessato;)
Un abbraccio
Annarita
@ Aldo
EliminaNon ho ben compreso il tuo input (colpa del periodo estivo? ☺).
Perché non mi mandi via mail qualche schizzo con la partenza e le prime fasi dell'iterazione?
Un saluto
Marco
Ok Marco, stasera ti preparo il tutto....sono curioso anche io di vedere il tuo risultato.
EliminaGrazie per il fatto di non tirarti mai indietro.
A dopo
Aldo
Nessuno ringraziamento, sono curioso anche io.
EliminaCiao