La Curva Di Koch, Un Elegante Frattale

Dalla rete

Qualcuno di voi, ragazzi del corso B, è andato a sbirciare su G+ e così ha "pizzicato" il mio post sulla Curva di Koch. La lingua inglese, in cui è scritto l'articolo, ha però rappresentato un ostacolo determinante per la comprensione dell'argomento.

Il mio alunno, curioso quanto intraprendente, non si è perso d'animo, contattandomi per posta elettronica:"Prof., mi potrebbe spiegare in italiano che cos'è la curva di Koch?"

E così, eccomi qui a scrivere questo articolo. Non sia mai che deluda la curiosità di uno studente desideroso di apprendere.

La Curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosce la descrizione. Essa apparve per la prima volta in un documento del 1904, dal titolo Sur une sans courbe continuous tangent, obtenue par une construction géométrique élémentaire, del matematico svedese Helge von Koch.

La costruzione della curva di Koch si ottiene ripetendo l'esecuzione di un determinato programma di istruzioni, e precisamente:

1. iniziando da un segmento di lunghezza assegnata, dividere il segmento in tre segmenti congruenti;
2. cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che sono i due lati di un triangolo equilatero;
3. ripetere il punto 1 per ciascuno dei segmenti attuali.

Prima e seconda iterazione (dalla rete)

Partendo da un segmento, se ne ottengono, quindi, quattro, costituenti una linea spezzata, nella prima iterazione; nella seconda, se ne ottengono 4 x 4 = 16  e così via, sino a generare un frattale elegante come un merletto.

Iterazioni successive (da wikipedia)

Ingrandendo qualsiasi elemento del frattale, si osserva sempre lo stesso frattale: si tratta quindi di una curva autosimile a qualsiasi livello di dettaglio.

Tutto chiaro sin qui?

Bene! Diamo adesso un'occhiata al fiocco di neve di Koch, che si ottiene, a partire da un triangolo equilatero, eseguendo ricorsivamente quanto indicato:

1. dividere ciascun lato in tre segmenti di uguale lunghezza;
2. disegnare un triangolo equilatero, che punta verso l'esterno, sul segmento centrale del punto 1, ed avente questo come lato;
3. rimuovere il segmento che è la base del triangolo equilatero del punto 2. 

Dopo 1 reiterazione di questo processo, la forma risultante è il contorno di un esagramma, che potete vedere nella seguente immagine (è la seconda figura a destra) relativa alle prime quattro iterazioni del fiocco di neve di Koch.

La curva, originariamente descritta da Koch, è costruita con uno solo dei tre lati del triangolo originale. In altre parole, tre curve di Koch formano un fiocco di neve di Koch.

L'animazione mostra le prime sette iterazioni (da wikipedia)

La curva di Koch è continua, autosimile (e non derivabile) ed ha una lunghezza infinita perché ogni iterazione crea quattro volte il numero di segmenti dell'iterazione precedente. La lunghezza di ciascuno segmento è un terzo della lunghezza dei segmenti della fase precedente. Quindi la lunghezza totale della curva aumenta di un terzo ad ogni iterazione e, dopo n iterazioni, sarà (4/3)^n volte il perimetro  del triangolo iniziale, che diventa illimitato quando n tende all'infinito.

Dopo diversi calcoli, qui omessi, si trova che l'area del fiocco di neve di Koch è uguale a 8/5 della superficie del triangolo iniziale. Pertanto il perimetro illimitato del fiocco di neve di Koch racchiude un'area finita.

Una bella e interessante modifica del fiocco di neve di Koch si ottiene iscrivendo, nei triangoli costitutivi, dei triangoli pieni, eventualmente ruotati di un certo angolo. Alcuni risultati campione sono illustrati nell'immagine seguente per 3 e 4 iterazioni.

Fonte dell'immagine