Un Dono Speciale Da The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Un Dono Speciale Da The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (la celeberrima OEIS)? Frenate la vostra curiosità! Vi spiegherò tutto con calma...;)

Non conoscete OEIS? State scherzando vero? Si tratta dell'Enciclopedia Online delle Sequenze di Numeri Interi, fondata da Neil Sloane nel 1996. 

Essa Costituisce la più grande e utilizzata raccolta di successioni e il riferimento più autorevole per il settore delle successioni di interi, al punto che molti testi che si occupano di successioni di interi contengono riferimenti al database. Per ogni successione sono inclusi: i primi termini della successione, le motivazioni matematiche, link collegati, la possibilità di generare un grafico o riprodurre una rappresentazione musicale della successione. È inoltre presente un motore di ricerca interno per parola chiave, o anche a partire da una sottosuccessione. Continuate a leggere su Wikipedia se volete saperne di più.

Dal 2002, Sloane si avvale di un gruppo di redattori che si occupano di inserire i contributi degli utenti. Di questi fa parte il mio amico Bruno Berselli, che ha fatto dono a Matem@ticaMente del seguente articolo. Grazie Bruno!

Risulta chiaro adesso il titolo del post?;)

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Nella OEIS si trovano molte sequenze formate dalle soluzioni intere x, y di equazioni diofantee del tipo:
h*x²+k = y²,
dove anche h, k sono interi.
Tali sequenze possono nascere dallo studio diretto di equazioni del tipo indicato oppure da altre idee.
Un giorno mi sono trovato sotto gli occhi la sequenza A075796, proposta nel 2002 da un medico e psichiatra americano, Gregory V. Richardson.

Una delle prime domande che mi sono posto, mentre osservavo quei numeri, è stata questa: per quali valori di h, oltre a 5, si possono trovare infiniti x tali che h*x²+5 sia un quadrato?

Con alcune semplici considerazioni (per esempio, è inutile soffermarsi sui valori di h della forma m² oppure 4m+2: nel primo caso, infatti, non potremmo sicuramente avere infinite soluzioni, mentre nel secondo non sarebbe possibile trovarne nemmeno una) e magari, ricorrendo ad alcuni semplici pacchetti software disponibili anche gratuitamente (come MAGMA, PARI/GP, Maxima etc.), ci si accorge velocemente che i primi casi in cui possiamo trovare infiniti valori per x sono 5, appunto:

 11, 19, 20, 29, 31, 41, 44, ...

Sotto 18 abbiamo solo 2 numeri, mentre sotto 36 ne abbiamo 6.

Così è stata registrata nella OEIS la sequenza che elenca i valori di x che soddisfano l'equazione diofantea 11*x²+5 = y², alla quale è stato quindi assegnato l' A-number A221762, che corrisponde a:

1, 2, 22, 41, 439, 818, 8758, 16319, 174721, 325562, 3485662, 6494921, 69538519, 129572858, 1387284718, 2584962239, 27676155841, 51569671922, 552135832102, ...

Abbiamo infatti:

11*1²+5 = 4²,  11*2²+5 = 7²,  11*22²+5 = 73², etc.

Esaminando questi numeri, si può scoprire che essi sono collegati a diverse altre sequenze appartenenti alla OEIS.
Per esempio, sommando un termine qualsiasi a quello che segue il termine successivo, vale a dire:

1+22 = 23,   2+41 = 43,   22+439 = 461, ...

troviamo gli elementi della sequenza A198949 proposta dell'ex insegnante Sture Sjöstedt.

Elenchiamo ora i termini di posto dispari: 1, 22, 439, 8758, 174721, 3485662, ...
e poi quelli di posto pari: 2, 41, 818, 16319, 325562, 6494921, ...
Se sottraiamo dal doppio di ogni elemento della prima lista il corrispondente elemento della seconda, otteniamo:

2*1-2 = 0,   2*22-41 = 3,   2*439-818 = 60,   2*8758-16319 = 1197, ...

risultati che compongono la sequenza A001084 (già inclusa sia in "A Handbook of Integer Sequences" del 1973, che in "The Encyclopedia of Integer Sequences" del 1995).

Il secondo commento di A221762, inoltre, colloca tali numeri all'interno di un insieme di sequenze della OEIS connesse all'equazione diofantea 11*x²+k = y².

Penso che le cose che si possono raccontare sulle sequenze della OEIS, in realtà, non finiscano mai, nessuno può escludere che qualche altro studioso, imbattendosi in questa o quella lista di numeri, possa trovare diverse configurazioni o significati. Questo discorso non riguarda tanto la A221762, penso, quanto piuttosto le altre migliaia di sequenze presenti nella OEIS (attualmente sono più di 234000) che ogni giorno permettono a molti matematici e studiosi di progredire nelle loro ricerche.
Perciò le sequenze della OEIS sono in costante "aggiornamento", OEIS muta ogni giorno come un essere vivente!