"Il Diagramma Di Argilla: L'Alba Del Pensiero Scientifico" Di Aldo Bonet

Presento, in questo post, "Il Diagramma Di Argilla: L'Alba Del Pensiero Scientifico" un articolo di Aldo Bonet*, studioso ed esperto di Storia della Matematica antica, con cui l'autore opera un ipotetico itinerario storico-interpretativo del diagramma di argilla, che, a suo parere (ed anche secondo me, dopo le varie e convincenti letture dei suoi documenti, già pubblicati su questo blog), fu fondamentale sia per la nascita del pensiero algebrico-geometrico prescientifico che per l’uscita dell’uomo mesopotamico dalla protostoria.

Ma leggiamo per intero la sua introduzione.

"Con il presente articolo, intendo percorrere un ipotetico itinerario storico-interpretativo del diagramma di argilla, che, a mio parere, fu fondamentale per la nascita del pensiero algebrico-geometrico prescientifico ed anche per l’uscita dell’uomo mesopotamico dalla protostoria. Questo, inoltre, fu fondamentale per la peculiarità simbiotica interattiva con l’uomo, garantendo la sua evoluzione insieme con quella concomitante della matematica e del pensiero scientifico. 

Secondo la mia ipotesi, il diagramma di argilla a modulo quadrato fu una formidabile, inattesa e versatile macchina matematica scaturita da un’arcaica arte edile costruttiva mediante mattoni pieni standardizzati che ha creato il primordiale pensiero scientifico."

E ancora:

"A mio parere, questo simmetrico diagramma di argilla a modulo quadrato fu scoperto dagli antichi artigiani-costruttori Sumeri e utilizzato anche dalle altre civiltà potamiche orientali- Egizi, Cinesi, Indiani- come versatile e formidabile macchina algebrico-geometrica che consentiva in modo semplice- così come ho dimostrato con le mie pubblicazioni- di arrivare, tramite un artigianale algoritmo visivo, alle soluzioni dei loro numerosi problemi algebrici rinvenuti, di visualizzare regole o identità algebriche notevoli, da loro già conosciute, e di imbastire artigianalmente altre importanti scoperte matematiche, compiute dalle citate civiltà potamiche, ma sempre ancorate a quest’unico strumento matematico di base, utilizzato come una sorta di gioco logico-enigmistico."

Vi invito a leggere con estrema attenzione l'intero articolo, al quale potete accedere cliccando sul seguente widget di Issuu.

AGGIORNAMENTO

A beneficio dei sostenitori del diagramma di argilla.

Spero che Annarita integri al post questo ennesimo indizio a sostegno del diagramma di argilla che spiega ulteriormente ciò che ho scritto a pag. 3 dell’articolo.

Diofanto di Alessandria (Egitto, III sec d.C. circa), nella sua Aritmetica, espone anche alcuni sistemi di 2° grado affini a quelli visti e risolti dalle civiltà mesopotamiche.

Propongo, per esemplificare, quello del tipo standard: somma – prodotto (x + y = s;  x∙y = b).

L’enunciato di Diofanto recita così: “Trovare due numeri quando la loro somma e il loro prodotto siano uguali a numeri assegnati “ 

Il sistema è risolto abilmente da Diofanto e traspare, nel suo procedimento di risoluzione, l’applicazione inequivocabile dell’arcaico principio mesopotamico: quello della semisomma [u= (x + y)/2] e della semidifferenza [v= (x - y)/2].

Diofanto, risolve il sistema di 2° grado scomponendo i due numeri (o le due incognite) in questo modo: x= u + v ;   y= u – v .  Ovvero, in due sub-radici, dove, se era nota l’una (u), bisognava trovare l’altra (v) o viceversa.

A questo generico enunciato, Diofanto, pone un limite o condizione volto a ottenere soluzioni razionali positive, il quale, recita: ”È necessario, tuttavia, che il quadrato della semisomma dei numeri superi il prodotto degli stessi di un numero quadrato, cosa che è d’altronde figurativa “

Tradotto algebricamente, l’enunciato si presenta come segue:

  u^2 =  [(x + y)/2]^2 = x y + v^2  

Che cosa volesse dire Diofanto con l’ultima frase della condizione posta “cosa che è d’altronde figurativa” -  ἒστι δὲ καὶ τοῦτο πλασματικόν (1) - ha scatenato una ridda di ipotesi ed interpretazioni: c'è chi sostiene che Diofanto abbia voluto fare riferimento ad una costruzione di tipo babilonese e chi invece sostiene che fosse di tipo euclideo, come la proposizione II, 6.  Noi invece, dopo aver letto l’articolo, sappiamo che Diofanto faceva riferimento alla quarta parte del diagramma di argilla:

Diofanto aveva sviluppato un‘algebra “sincopata – simbolica” mascherando così nel calcolo il diagramma di argilla cui faceva comunque riferimento. 

Oggi, per noi la cosa è chiara! E sappiamo anche cosa intendesse dire Diofanto con quell’ultima parte della condizione posta. E, detta alla Diofanto: “ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασματικόν“.

Secondo il Professor Giovanni Ceschi, insegnante di greco presso l’Istituto Liceo Prati di Trento, da me interpellato e che ringrazio moltissimo per la preziosa disponibilità, nonostante i suoi numerosi impegni scolastici, la frase diofantea, meglio se scritta

“ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασματικόν“

la si può tradurre e inquadrare più correttamente come: 

“Cosa che peraltro è anch’essa figurativa”(2)

Questa interpretazione del Prof. Giovanni Ceschi, che mi è stata subito fornita dallo stesso grazie alla competenza nel proprio ambito di insegnamento, pur con la riserva (a dimostrazione della sua serietà professionale) di essere direttamente verificata nell’Opera originale (all'interno, quindi, di un contesto più ampio in cui è stata scritta da Diofanto nella sua Aritmetica), già di per sé non è assolutamente da trascurare sul piano di un’analisi linguistica oggettiva. 

Questa migliore traduzione, che reputo adeguata ed affidabile, mi porta a pensare che Diofanto, con la sua ultima frase, stesse semplicemente facendo riferimento a qualcosa di analogo, che aveva visualizzato, e che era da ricollegare a qualcosa di precedente. In altre parole, a mio parere, Diofanto, stava affermando che la condizione da lui posta era correttamente visualizzabile sullo stesso diagramma di argilla esattamente come il principio della semisomma e della semidifferenza, preventivamente visualizzato (o raffigurato) proprio come nella figura sopra indicata.

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(1) Maracchia S. (2005/2008). Storia dell’Algebra. Napoli: Liguori, pag 123.

(2) Secondo Jöran Friberg. (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. Londra: World Scientific, pag. 328- 329-330, la frase in questione la si può inquadrare come "And this can be shown in a diagram" ovvero “E anch’essa può essere visualizzata in un diagramma”. Jöran Friberg propone, quindi, tre tipi di diagrammi in Fig.13.1.1 a pag 330 del suo libro e ciascuno rispettivamente assegnato ad ogni problema contenuto nell’Aritmetica di Diofanto: I.27- I.28- I.30. Ebbene, tutti e tre i diagrammi proposti, se osservati attentamente, sono riconducibili e, pertanto, contenuti nell’unico diagramma di argilla, da cui discendono e che io propongo.   

Jöran Friberg. (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. pag. 330

Notare che, l’abbreviazione “sq.“ deriva dalla parola inglese “square” che significa: “quadrato”

Pertanto, quando vediamo per esempio l’espressione: sq.(a – b) /2, dobbiamo leggerla come: “il quadrato della semidifferenza”, che tradotto algebricamente : [(a – b) /2]^2

Per comodità di comprensione terrò le espressioni con le dovute abbreviazioni usate da Jöran Friberg, il quale, peraltro, usa per le incognite ( o numeri incogniti) le lettere “a, b“ e per i termini noti: “m, n, k“

Jöran Friberg, propone tre diagrammi in Fig.13.1.1 a pag. 330 del suo libro: Il primo a sinistra, interpreta geometricamente la condizione posta (diorismo) da Diofanto nel problema I ,27 della sua Aritmetica. Il diagramma in mezzo (o al centro) per il problema Ar. I,28, e l’ultimo a destra per il problema Ar. I,30.

Fig. 1. Jöran Friberg. (2007).
  Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics, pag. 330.
(Figura inserita su gentile concessione dell’autore)

Desidero far vedere, qui di seguito, come gli stessi diagrammi, proposti da Jöran Friberg, appartengano tutti e tre all’arcaico e unico Diagramma di argilla mesopotamico, a cui Diofanto faceva verosimilmente riferimento.

DIAGRAMMI DI JÖRAN FRIBERG RICOSTRUITI CON IL DIAGRAMMA DI ARGILLA QUADRATICO

(Jöran Friberg's Diagrams, reconstructed with the clay square diagram)

Riprendiamo quello a sinistra nella Fig. 13.1.1- Ar. I,27, interpretandolo con il Diagramma di argilla.

Fig. 2. Diagramma di argilla che visualizza la relazione: sq. (a+b) /2 = sq. (a-b) /2 + a.b

Riprendiamo quello al centro nella Fig 13.1.1- Ar. I,28, interpretandolo con il Diagramma di argilla.

Fig.3. Diagramma di argilla che visualizza la relazione:2(sq.a+ sq.b)=sq.(a+b)+sq.(a-b)

Riprendiamo quello a destra nella Fig 13.1.1- Ar. I,30, interpretandolo con il Diagramma di argilla.

Fig. 4. Diagramma di argilla che visualizza la relazione: 4.a.b + sq. (a-b) = sq. (a+b)

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*Aldo Bonet è uno studioso di Storia della Matematica antica, da decenni. La sua ricerca lo ha portato a concretizzarne i risultati in numerosi articoli pubblicati su riviste specialistiche, tra cui “L’Educazione Matematica” e “Periodico di Matematiche”,Mathesis Nazionale.

Tra i suoi lavori, brillano come gemme “La Scienza di Talete” e il “Diagramma di argilla”.

Lo studio di Aldo Bonet sul "Diagramma di Argilla" è incluso nella
Bibliography of Mesopotamian Mathematics, alla lettera B, di Duncan J. Melville, professore di Matematica presso la  St. Lawrence University  in Canton, NY., tra  i cui interessi di ricerca c’è appunto La matematica mesopotamica.