"Il mistico undici" è uno degli enigmi numerici, messo a punto dall'inglese Henry Ernest Dudeney (1857-1930), considerato, insieme all'americano Sam Lloyd, uno dei maggiori inventori di enigmi matematici di tutti i tempi.
Facendo un paragone tra questi due geni dell'enigmistica, Martin Gardner ha scritto: "Lloyd fu un brillante e prolifico inventore di enigmi, con una particolare abilità nel far emergere gli aspetti più sorprendenti, però, quando si tratta di problemi di natura più matematica, Dudeney lo supera largamente".
L'enigma e soluzione, presentati di seguito, sono tratti da "I gatti del mago- Passatempi matematici II" (titolo originale: Amusements in Mathematics) della collana "SFIDE MATEMATICHE- I classici della matematica ricreativa".
L'enigma può essere utilmente proposto a scuola sia nell'ambito della divisibilità che per stuzzicare la curiosità dei ragazzi, favorendo un approccio ludico che aiuta l'apprendimento.
► Potete scaricare gratuitamente Amusements in Mathematics, in diversi formati, da questo link>>
http://www.gutenberg.org/ebooks/16713
Il mistico undici
"Sapete trovare il numero maggiore possibile che contenga nove cifre qualsiasi delle dieci (considerando lo zero una cifra) e che sia divisibile per 11 senza resto? Sapete trovare anche il numero minore possibile, prodotto nella stessa maniera, che sia divisibile per 11?
Omettendo il 5, per esempio, si ottiene 896743012. Questo numero contiene nove delle cifre ed è divisibile per 11, ma non è il maggiore né il minore che si può ottenere".
Soluzione
La maggior parte delle persone sa che, se la somma delle cifre nelle posizioni dispari di un numero qualsiasi è uguale alla somma delle cifre di posto pari, allora il numero è divisibile per 11 (quindi senza resto). Così in 896743012 le cifre di posto dispari, 2-0-4-6-8, sommate danno 20, e le cifre di posto pari, 1-3-7-9, sommate danno anche 20. Allora il numero può essere diviso per 11.
Pochi sanno, però, che, se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari è 11, oppure un multiplo di 11, la regola è ancora valida.
Questa regola ci permette di trovare, con un numero limitato di operazioni, che il minor numero divisibile per 11, contenente nove delle dieci cifre (considerando lo zero come cifra), è 102347586, mentre il maggior numero possibile è
987652413.
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