La Teoria dei Grafi per i Piccoli...e non solo!

La teoria dei grafi studia le proprietà  metriche e topologiche delle relazioni binarie, ed è diventata al giorno d'oggi un capitolo della matematica molto ricco di applicazioni, in particolare nell'ambito della combinatoria e del calcolo automatico. 

Essa studia i grafi, strutture matematiche discrete utilizzate in topologia, teoria degli automi, funzioni speciali, geometria dei poliedri, algebre di Lie, ma anche in informatica per schematizzare, ad esempio, programmi, circuiti, reti di computer, mappe di siti.
E non è tutto, perché i grafi sono alla base di modelli sistemici e processi studiati nell'ingegneria, nella chimica, nella biologia molecolare, nella ricerca operativa, nella organizzazione aziendale, nella geografia (si pensi ai sistemi fluviali, reti stradali, trasporti), nella linguistica strutturale, nella storia (con riferimento agli alberi genealogici e alla filologia dei testi), e possono modellare molti problemi del mondo reale, in cui viviamo.
Come tali, i grafi sono oggetti matematicamente ricchi che si prestano facilmente ad un approccio precoce in ambito educativo. Ovviamente con le opportune strategie didattico/apprenditive.

La pensa in tal modo anche Joel David Hamkins, professore di  matematica, filosofia e computer science presso la City University of New York, che ha voluto esplorare alcune idee elementari in teoria dei grafi con le bambine di una classe terza elementare, frequentata dalla figlioletta.

Quanto segue è la traduzione più o meno fedele di un suo articolo, in cui viene illustrata la citata esperienza.

L'obiettivo specifico, pensato da Hamkins per le bambine di otto anni, è stato quello di far loro scoprire per proprio conto la caratteristica di Eulero per i grafi connessi planari.

Ecco la strategia, narrata in prima persona dall'autore.

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Abbiamo iniziato con un esempio semplice, contando insieme il numero di (vertices) nodi o vertici, (edges) archi o spigoli o lati e (regions) regioni.
Nel contare le regioni, ho sottolineato che consideriamo appartenente ad esse anche la regione "esterna".

[Figura a destra: Un grafo è una collezione di nodi connessi da archi.
Questo grafo possiede 5 nodi, 7 archi, e suddivide il piano in 4 regioni]





Successivamente, ho infuso un po' di mistero, accennando al fatto che Eulero aveva scoperto qualcosa di particolare riguardo al calcolo di
V - E + R.
Sarebbero state in grado di scoprire che cosa aveva notato il grande matematico?

[Immagine sopra: Il matematico Leonardo Eulero notò qualcosa di particolare quando calcolò:

(Numero di nodi) - (numero di archi) + (numero di regioni)

           V       -        E        +        R

Questo numero è ora conosciuto come la caratteristica di Eulero.

Calcolatela! 

NODI (VERTICES)     3
ARCHI (EDGES)        3
REGIONI (REGIONS) 2

V - E + R
3 - 3 + 2 = 2  ]

Ogni alunna aveva il suo fascicolo e si impegnava a calcolare la caratteristica di Eulero per diversi piccoli grafi, mentre io mi muovevo in continuazione attraverso l'aula, per dare una mano.

Infine, le ragazze hanno notato la cosa singolare - hanno continuato ad ottenere il numero due come risultato! Le ho sentite esclamare, perché continuiamo a ottenere due? Avevano trovato la piacevole sorpresa di Eulero!

Anche gli insegnanti erano molto incuriositi, e uno di loro mi disse stupito, "Voglio proprio sapere perché si ottiene sempre due!"

Alle alunne, ho proposto di provare alcuni casi un po' più insoliti, per vedere

quanto fosse effettivamente solido il risultato 2, sempre trovato.
Ma, anche in questi casi, abbiamo ancora ottenuto due come risultato.


[Figura a destra: Si ottiene sempre 2? 

Prova in alcuni casi estremi]

Le ragazze hanno realizzato i loro grafi e testato l'ipotesi.

Alla fine, ho proposto, ovviamente, alcuni esempi che facessero effettivamente testare il fenomeno 2, sempre ottenuto, innanzitutto considerando grafi non connessi, e successivamente grafi con archi intersecati.

[Il primo grafo nell'immagine di sinistra non è connesso e la caratteristica di Eulero non è verificata. Se si connettono due nodi del grafo, aggiungendo un arco, la caratteristica di Eulero è invece verificata.

Nell'immagine di destra, si può osservare che, nel primo grafo con due archi diagonali intersecati, la caratteristica di Eulero non è verificata. Fissando, invece, un nodo nel punto di intersezione, oppure lasciando fisso un arco e muovendo il secondo il modo da connettere due nodi senza intersecare il primo, la caratteristica di Eulero è verificata.]

In questo modo, si è stati indotti a circoscrivere l'ipotesi V - E +R = 2 al caso dei grafi connessi planari.

A quel punto, era ormai tempo di fornire una prova. Inizialmente, ero incerto se dare effettivamente una prova, dato che  si trattava di una terza elementare, dopo tutto, e avevo immaginato una reale difficoltà a comprendere da parte di alunne di quell'età. Ma, quando gli insegnanti espressero il desiderio di sapere perché si otteneva sempre 2, mi incoraggiarono esplicitamente a darne una giustificazione, con l'affermare che se anche alcuni studenti non la capissero, c'era tuttavia valore semplicemente nel vedere che si può costruire un ragionamento come quello. Insegnanti eccellenti!

L'idea della prova è che V - E + R = 2 è vera all'inizio, nel caso di un grafo costituito da un nodo e privo di archi. Inoltre, essa rimane vera quando si aggiunge un nuovo nodo connesso da un nuovo arco, dal momento che il nuovo nodo e il nuovo arco si bilanciano. Ancora, essa rimane vera quando si ritaglia una nuova regione da una vecchia regione con l'aggiunta di un singolo nuovo arco, poiché in questo caso vi sono un nuovo arco e una nuova regione, e anche questi si bilanciano l'un l'altra. Dal momento che ogni grafo connesso planare può essere costruito in questo modo, aggiungendo gradualmente nuovi nodi e nuovi archi, questo ragionamento mostra V - E + R = 2 per ogni grafo connesso planare. Questa è una prova per induzione sulla dimensione del grafo.

[Immagine sopra, a sinistra

 Per un grafo connesso planare, la caratteristica di Eulero è sempre 2? SI!

• Essa è vera all'inizio, per un grafo con un nodo, nessun arco e una regione:

V   E    R

1 - 0 + 1 = 2

• Essa resta vera, quando si aggiunge un nodo connesso (un nuovo nodo, un nuovo arco), perché nodi e archi si bilanciano gli uni con gli altri).
• Essa resta vera, quando si taglia una regione con un nuovo arco (un nuovo arco, una regione extra), perché archi e regioni si bilanciano.

Immagine sopra, a destra

CONCLUSIONE

Ogni grafo connesso planare ha: V - E + R = 2 ]

Poi siamo passati a considerare alcuni solidi tridimensionali e le loro superfici. Con diversi poliedri, le ragazze sono state in grado di verificare ulteriori casi di 

V - E + R = 2.

Le ragazze hanno, poi, disegnato ciascuna i propri solidi e calcolato la caratteristica di Eulero. Ho insegnato loro come disegnare un cubo e molti altri solidi, qui visualizzati; quando la figura è molto più di un semplice cubo, questo può costituire una sfida per un bambino, ma alcune bambine hanno realizzato dei bei solidi:

Alla fine, ogni bambina ha avuto un bell'opuscoletto da portare a casa. Le immagini qui sopra sono prese da un'alunna della classe.

Che gran giorno!

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Comprendo perfettamente l'entusiasmo provato da Hamkins in questa esperienza educativa perché lo conosco anch'io, essendo stata coinvolta, come esperta di didattica delle scienze, in alcuni laboratori con classi della scuola primaria e i loro maestri.

Gli alunni così piccoli sono in possesso di una grande curiosità, alimentata sapientemente dai loro insegnanti, e rappresentano un terreno fertile su cui seminare basilari grani di conoscenza, grazie al loro naturale istinto ad apprendere!

Ogni scoperta è fonte di gioia ed entusiasmo, che sono prezioso nutrimento per la loro voglia di apprendere ulteriormente e sono irradiati su chi ha la fortuna di interagire con loro.

L'esperienza qui raccontata offre indubbiamente ottimi spunti su cui riflettere, ed incoraggia a presentare anche argomenti di matematica ritenuti ostici (ma quali non lo sono nell'immaginario collettivo?) in modo giocoso e fecondo per apprendenti in tenera età e non solo. L'esperienza può essere esportata, infatti, nei gradi scolastici successivi e, in particolare, nella scuola secondaria di 1° grado.

► L'articolo di Joel David Hamkins, in inglese>>

http://jdh.hamkins.org/math-for-eight-year-olds/