Il Radiante e la sua Relazione con il Cerchio

In base alla mia esperienza di insegnante, il concetto di radiante non è così immediato per gli studenti della Scuola secondaria di 1° grado. Questa ottima animazione di Lucas V. Barbosa (fonte) può rappresentare un aiuto per la comprensione di tale concetto.

Come ben si osserva nell'animazione, un arco di un cerchio, di lunghezza uguale a quella del raggio del medesimo cerchio, corrisponde a un angolo di 1 radiante. Una intera circonferenza corrisponde a un angolo di 2π radianti.

Un radiante è, pertanto, l'angolo al centro di un cerchio sotteso da un arco avente lunghezza pari al raggio del cerchio. Più in generale, la grandezza in radianti di tale angolo sotteso è uguale al rapporto tra la lunghezza dell'arco e il raggio del cerchio:  θ = l / r,
dove θ è l'angolo sotteso espresso in radianti, l è la lunghezza dell'arco, ed r è il raggio.

Viceversa, la lunghezza dell'arco (che sottende l'angolo) è uguale al prodotto della lunghezza del raggio e del valore di detto angolo in radianti: l = rθ.

Come rapporto di due lunghezze (una relativa all'arco e l'altra al raggio), il radiante è un "numero puro" o adimensionale, quindi non necessita di un simbolo per l'unità di misura; nel linguaggio matematico il simbolo "rad" è quasi sempre omesso.

Un giro completo vale 2π radianti, come mostrato nella figura seguente con un cerchio di raggio unitario e, quindi,  circonferenza 2π.

Fonte 

Ne consegue che la grandezza in radianti di un giro completo (360°) è data dal rapporto tra la lunghezza di una intera circonferenza e quella del suo raggio:
  2πr /r, ovvero 2π.
Così 2π radianti equivalgono a 360°, e di conseguenza 1 radiante equivale a  180°/π.

Di seguito, una immagine sinottica di alcuni comuni angoli misurati in radianti. I poligoni, ivi rappresentati, sono: triangolo equilatero, quadrato, pentagono, esagono ed ottagono tutti e tre regolari.

Fonte dell'immagine.

Per finire, un po' di storia sul radiante.

Il concetto di misura in radianti, in alternativa al grado, è stato normalmente attribuito a Roger Cotes (nel 1714), matematico inglese, noto per i suoi contributi ai primi sviluppi del calcolo infinitesimale, e, in particolare, per aver collaborato con Isaac Newton. Egli ha, inoltre, creato le formule di quadratura (formule di Newton-Cotes) ed ha per primo introdotto la formula, oggi conosciuta come formula di Eulero.

Cotes descrisse il radiante riconoscendogli la sua naturalezza come unità di misura angolare. L'idea di misurare gli angoli mediante la lunghezza dell'arco era già stata utilizzata da altri matematici. Ad esempio, al-Kashi, matematico e astronomo persiano(Kashan, 1380 circa – Samarcanda, 22 giugno 1429), utilizzò le cosiddette parti di diametro come unità di misura, in cui una parte di diametro corrispondeva a 1/60 rad. Utilizzò anche le sub-unità sessagesimali del diametro.


Il termine radiante comparve per la prima volta a stampa il 5 giugno del 1873, in dei quesiti d'esame stabiliti da James Thomson (fratello di Lord Kelvin) presso il Queen College di Belfast. Egli aveva già utilizzato il termine nel 1871, mentre nel 1869, Thomas Muir, allora all'Università di St Andrews, tentennava tra i termini: rad, radiale, e radiante. Nel 1874, dopo una consultazione con James Thomson, Muir adottò il termine radiante.

Interessante la seguente nota, che ho trovato nel documento online "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (R)":

In 1876-79, the Globe encyclopaedia of universal information has, in the Circle article: "The unit, called a radian by Professor James Thomson, is that angle whose subtending arc is equal in length to the radius" [University of Michigan Digital Library].

Nella maggior parte dei rami della matematica oltre alla geometria pratica, gli angoli sono universalmente misurati in radianti. Questo perché i radianti hanno una "naturalezza" dal punto di vista matematico che porta ad una più elegante formulazione di tutta una serie di importanti risultati.

In particolare, in analisi, i risultati, che coinvolgono le funzioni trigonometriche, sono semplici ed eleganti quando gli argomenti delle funzioni sono espressi in radianti. 

Non sono incluse in questo post le trasformazioni da radianti a gradi e viceversa. Tale argomento sarà eventualmente trattato in un successivo post.

Qui, fornisco soltanto l'informazione relativa al valore in gradi di 1 radiante:

1 rad = 57° 17' 44,8"