Il Teorema di Holditch: un Teorema Un Po' Dimenticato

La bella animazione che vedete è una creazione di Matthew Henderson, in cui si osserva un segmento di lunghezza fissata, i cui estremi si muovono lungo il contorno di un’ellisse, tracciando un insieme di nuove forme. Si consideri l'area della forma tracciata da un punto che dista p unità da un estremo del segmento e q unità dall'altro estremo. Il teorema di Holditch, considerato una pietra miliare nella storia della matematica, dice che tale area è minore dell'area dell'ellisse di almeno π × p × q, dove p e q sono le lunghezze dei due segmenti, in cui il punto divide il segmento dato. Curiosamente, questa formula è valida non solo per un'ellisse, ma per qualsiasi tipo di curva chiusa convessa.

Il Reverendo Hamnet Holditch, presidente del Cajus College, Cambridge, scoprì questa notevole proprietà a metà del secolo scorso. La sua dimostrazione, pubblicata nel 1858, ricorre ad un numero di assunti impliciti e utilizza delle nozioni sconosciute al moderno lettore. Tuttavia, la parte elementare del teorema è accessibile ad uno studente medio di scuola superiore. Un risultato molto più generale può essere ottenuto come una dimostrazione piuttosto elementare di integrali lineari nel piano.

Caso classico del teorema di Holditch, in relazione alla seguente figura.

Fonte dell'immagine.

Consideriamo una corda di lunghezza costante che scorre con entrambi gli estremi lungo una curva piana, chiusa e convessa C, e scegliamo un punto che divide la corda in due segmenti di lunghezza p e q. Il punto considerato traccerà una nuova curva chiusa C' (osservare le immagini sopra). Per determinate condizioni, l'area compresa tra C e C' è data da π × p × q, come dimostrato da Holditch nel 1858.
Per un cerchio di raggio R,  la curva di Holditch è un altro cerchio che, secondo il teorema, ha raggio r:

Il teorema possiede delle curiose peculiarità:

► la formula π × p × q è indipendente sia dalla forma che dalle dimensioni della curva originale;
► la formula è equivalente a quella di una ellisse di semiassi p e q, anche se la curva originale non è una ellisse.