Andrew Wiles E La Dimostrazione Dell'Ultimo Teorema di Fermat

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L'Accademia norvegese di Scienze e di Lettere ha deciso di attribuire il premio Abel per il 2016 a Sir Andrew J. Wiles

"for his stunning proof of Fermat’s Last Theorem by way of the modularity conjecture for semistable elliptic curves, opening a new era in number theory."

ovvero

"Per la sua sensazionale dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat per mezzo della congettura di modularità per le curve ellittiche semistabili, che apre una nuova era nella teoria dei numeri."

Il Presidente dell'Accademia norvegese di Scienze e di Lettere, Ole M. Sejersted, ha annunciato il vincitore del premio Abel 2016, presso l'Accademia di Oslo, il 15 marzo 2016.
Andrew J. Wiles riceverà il premio Abel dal principe ereditario durante la cerimonia di premiazione che si terrà ad Oslo il 24 maggio prossimo.
Andrew J. Wiles è uno dei pochissimi matematici (se non l'unico) la cui dimostrazione di un teorema ha guadagnato le prime pagine dei giornali a livello internazionale. Nel 1994 riuscì a risolvere l'Ultimo Teorema di Fermat (UTF), che all'epoca era il problema più famoso, e da più lungo tempo irrisolto, nella storia della Matematica 

La dimostrazione di Wiles rappresenta non solo l'apice della sua carriera, ed una tappa epocale per l'evoluzione della matematica, ma anche il coronamento di un eccezionale percorso personale iniziato tre decenni prima.

Nel 1963, quando era un ragazzino di appena dieci anni e viveva a Cambridge,

A.Wiles a 10 anni

in Inghilterra, Wiles aveva trovato la copia di un libro sull'UTF nella biblioteca locale. Wiles ricorda di essere stato immediatamente affascinato da quel problema rimasto irrisolto da oltre trecento anni, e di essere stato consapevole sin da allora che avrebbe fatto di tutto per risolverlo.

Il comitato del premio Abel ha affermato: "Pochi risultati in matematica hanno una storia così ricca ed una dimostrazione cosi incredibile come l'Ultimo Teorema di Fermat".

Ma diamo uno sguardo a questo celebre teorema!

L'Ultimo Teorema di Fermat, il problema che aveva catturato l'immaginazione di Andrew Wiles sin da quando egli era un ragazzino, afferma che:
Non esistono soluzioni intere positive dell'equazione

x^n + y^n = z^n  quando n è maggiore di 2.

L'enunciato del teorema fu formulato nel 1637 dal francese Pierre de Fermat, matematico non professionista (considerato il più grande dei non professionisti), che scrisse queste parole ai margini di una copia dell'Arithmetica di Diofanto: "Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina".

Per curiosità, il testo completo dell'enunciato originale, scritto in latino, recita: 
"Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet" (Nagell 1951, p. 252)

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La dimostrazione rivendicata da de Fermat non è mai stata trovata, ma ha rappresentato una fantastica esca per le tante generazioni di matematici che hanno tentato di trovarne una, senza riuscirci.
Al tempo in cui Wiles era un ragazzo, l'UTF era diventato il più famoso problema irrisolto in matematica e dimostrarlo era ritenuto essere ben oltre le possibilità degli strumenti concettuali disponibili.

La dimostrazione di Andrew Wiles sicuramente non è quella a cui Fermat stava pensando mentre scarabocchiava sul margine del suo libro. (È ormai accettato che il francese si era sbagliato nel credere di essere in possesso di una dimostrazione.)

Il lavoro Wiles si basa su due concetti introdotti in matematica nei secoli XVIII e XIX: curve ellittiche e forme modulari.

Una curva ellittica è un'equazione della forma y^2 = x^3 + ax + b, dove a e b sono delle costanti. I matematici iniziarono a studiare queste equazioni per calcolare le distanze dei pianeti in moto lungo le loro orbite ellittiche. Dall'inizio del XIX secolo, tuttavia, esse furono di interesse per le loro proprietà e per l'argomento del lavoro di Niels Henrik Abel.
Le forme modulari sono oggetti matematici molto più astratti. Esse sono funzioni olomorfe sul semipiano superiore complesso e presentano infiniti gradi di simmetria.
Beh, entrambi i concetti non sono tipi propriamente facili da trattare, perciò non approfondiamo più di tanto il loro aspetto per così dire tecnico.

Ritornando all'approccio storico, le curve ellittiche e le forme modulari non sembravano mostrare alcun legame tra loro. Erano campi diversi, derivanti da domande diverse, studiati da persone diverse che utilizzavano terminologia e tecniche diverse. Eppure, negli anni '50 due matematici giapponesi, Yutaka Taniyama e Goro Shimura, ebbero un'idea che sembrava venuta fuori dal nulla: ovvero che, a livello profondo, i due (apparentemente diversi) campi erano equivalenti.

I due giapponesi suggerirono che ogni curva ellittica potesse essere associata alla propria forma modulare ovvero ogni curva razionale ellittica è modulare, una affermazione nota come congettura di Taniyama-Shimura, una proposta sorprendente e radicale che nessuno aveva idea di come dimostrare. 
Più precisamente, la citata congettura è meglio nota come teorema di modularità, che, ripreso da André Weil nel 1967, aprì la strada alla sua dimostrazione dell'UTF. Nel 1994, infatti, Andrew Wiles e Richard Taylor ne dimostrarono il caso particolare per le curve ellittiche semistabili, che costituisce una parte significativa della dimostrazione dell'UTF di Wiles.

Ma facciamo un passettino indietro, precisamente al 1984 allorché il matematico tedesco Gerhard Frey collegò per la prima volta la verità dell'UTF alla verità della congettura di Taniyama-Shimura. L'UTF, come abbiamo visto sopra, afferma che non ci sono soluzioni intere positive per x^n + y^n = z^n quando n è maggiore di 2.
Frey dimostrò che, se si assume come falsa questa affermazione, è possibile creare una curva ellittica così strana che sembra non avere alcuna forma modulare associata. Due anni dopo, l'americano Ken Ribet dimostrò che l'intuizione di Frey era corretta: se l'Ultimo Teorema di Fermat è falso, c'è una curva ellittica che non ha forma modulare associata, in altre parole, anche la congettura di Taniyama-Shimura è falsa.

Il lavoro di Frey e di Ribet implicava anche il principio di contrapposizione [(p -> q) -> (non q -> non p)], cioè se la congettura di Taniyama-Shimura è vera, allora l'Ultimo Teorema di Fermat non può essere falso, il che significa che deve essere anche vero. A quel punto, al fine di dimostrare l'Ultimo Teorema di Fermat, era sufficiente dimostrare la congettura di Taniyama-Shimura.
Eppure, nessuno sapeva come realizzare questa impresa, né vi era alcuna indicazione che dimostrare la congettura sarebbe stato più facile del dimostrare l'UTF. Forse l'equivalenza del teorema e della congettura implicava che entrambe erano impossibili? Andrew Wiles, specialista sia delle curve ellittiche (argomento del suo dottorato di ricerca) che delle forme modulari, possedeva almeno il background giusto per impegnarsi con il problema.

E dopo otto anni di intenso studio, Wiles riusciva finalmente a dimostrare che la congettura era vera!

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L'originale e audace dimostrazione di Wiles è considerata come uno dei più grandi trionfi della matematica contemporanea. La sua descrizione generale è la seguente: ogni curva ellittica ha una sequenza di numeri che la definisce, come fa ogni forma modulare. Wiles ha dimostrato che ogni sequenza appartenente ad una curva ellittica può essere abbinata esattamente alla sequenza appartenente ad una forma modulare. Per ottenere ciò, ha messo a punto una serie di tecniche basate sul lavoro del matematico Évariste Galois (19° secolo), il quale aveva scoperto le simmetrie che nascono dalle soluzioni di certe equazioni.

La dimostrazione della congettura di Taniyama-Shimura, un risultato ora noto come il teorema di modularità, aveva come diretta conseguenza che Wiles era riuscito a dimostrare anche l'Ultimo Teorema di Fermat, concludendo così un capitolo di storia della matematica iniziato 350 anni prima. In più, oltre ad aver risolto un antico e famoso enigma, l'impatto del teorema di modularità in ambito matematico è stato immenso. Wiles ha dimostrato un collegamento strutturale fondamentale tra curve ellittiche e forme modulari, un risultato ricco e importante all'interno della teoria dei numeri, con numerose e profonde conseguenze. Egli ha anche messo a punto un potente kit di strumenti concettuali, successivamente utilizzato in modo spettacolare da altri matematici, nel corso degli ultimi due decenni.

In particolare, le nuove idee introdotte da Wiles sono state decisive per molti sviluppi successivi, compresa la dimostrazione, nel 1998, del caso generale della congettura di modularità da parte di Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond e Richard Taylor. Pochi mesi fa, nel 2015, Nuno Freitas, Bao V. Le Hung e Samir Siksek hanno dimostrato un enunciato di modularità sopra i campi di numeri quadratici reali.
Pochi risultati matematici hanno una storia tanto varia e una dimostrazione così ricca di colpi di scena come l’Ultimo Teorema di Fermat.

A proposito di colpi di scena, vale la pena citare quanto segue. 

La dimostrazione sia dell'Ultimo Teorema di Fermat che del Teorema di Modularità era quasi universalmente considerata inaccessibile dai matematici contemporanei, poiché entrambi erano praticamente impossibili da dimostrare con le conoscenze disponibili. Wiles aveva dapprima annunciato la sua dimostrazione mercoledì 23 giugno 1993 in una conferenza a Cambridge, dal titolo "Elliptic Curves and Galois Representations". Tuttavia, a settembre del 1993, era stata rilevata la presenza di un errore nella dimostrazione. Un anno dopo, lunedi 19 Settembre 1994, in quello che avrebbe chiamato "il momento più importante della [sua] vita lavorativa", Wiles ebbe una specie di rivelazione, "così indescrivibilmente bella ... così semplice e così elegante", che gli consentì di correggere l'errore in modo ritenuto soddisfacente dalla comunità matematica.
La dimostrazione corretta fu pubblicata nel mese di maggio 1995.

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Riferimenti

► Wiles' proof of Fermat's Last Theorem

► Are mathematicians finally satisfied with Andrew Wiles's proof of Fermat's Last Theorem? Why has this theorem been so difficult to prove?

► Fermat's Last Theorem

► "The Proof"

► Wiles, Ribet, Shimura-Taniyama-Weil and Fermat's Last Theorem

►  Sir Andrew J. Wiles receives the Abel Prize

► Sir Andrew J. Wiles

► The Abel Prize Laureate 2016