Alcune Curiosità Sulle Terne Pitagoriche

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Prima di addentrarci nel percorso delle preannunciate curiosità, vale la pena ricordare che cos'è una terna pitagorica.

In parole brevi, si tratta di tre numeri interi positivi corrispondenti alle lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo- a, b, c, i due cateti e l'ipotenusa rispettivamente- per i quali è valida la relazione pitagorica:

a^2 + b^2 = c^2

(3, 4, 5) è un ben noto esempio di terna pitagorica, che è anche primitiva perché 3, 4 e 5 sono numeri coprimi (o primi tra loro o relativamente primi), cioè il loro massimo comun divisore vale 1.

La seguente gif animata vale più di mille parole...beh si fa per dire, ma non troppo in realtà!

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► Prima curiosità: sapete che cos'è un albero di terne pitagoriche primitive?

In matematica, un albero di terne pitagoriche primitive è un albero di dati in cui ogni nodo si dirama in tre nodi successivi, con l'insieme infinito di tutti i nodi che danno tutte (e solo) le terne pitagoriche primitive senza duplicati.

Struttura ad albero dell'insieme di tutte
le terne pitagoriche primitive. Fonte

Si può dimostrare induttivamente che l'albero contiene soltanto terne pitagoriche primitive, verificando che (partendo da una terna primitiva come (3, 4, 5) presente nel nodo iniziale) ogni terna generata è sia pitagorica che primitiva.

Ritornando alla definizione di terna pitagorica, vorrei sottolineare il fatto che, se i tre numeri corrispondenti alla lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo non sono interi, essi non costituiscono una terna pitagorica.
Per esempio, il triangolo con i lati  a = b = 1, c = √2 è rettangolo, ma la terna (1, 1, √2) non è pitagorica perché √2 non è un numero intero. Inoltre, 1 e √2 non hanno un comune multiplo intero perché √2 è un numero irrazionale.

► Altra curiosità: lo sapete che due terne pitagoriche posso essere combinate per generare una terza terna pitagorica?

Infatti se

a^2 + b^2 = c^2

e

A^2 + B^2 = C^2

allora

(aA- bB)^2  +  (aB + bA)^2 = (cC)^2

Vediamo un esempio concreto.

Sia (a, b, c) = (3, 4, 5) e (A, B, C) = (5, 12, 13)

allora

(3*5 - 4*12)^2 + (3*12 + 4*5)^2 = (5*13)^2

(15 - 48)^2 +  (36 + 20)^2 = 65^2

(- 33)^2 + 56^2 = 4225

1089 + 3136 = 4225

Quindi, combinando le prime due abbiamo ottenuto una terza terna pitagorica (33, 56, 65), che è una delle tre terne in cui si è diramata la terna primitiva (15, 8, 17), come potete controllare nel succitato albero di tutte le terne pitagoriche primitive. 

► Si osservi ancora che esistono infinite terne pitagoriche, necessariamente primitive, in cui l'ipotenusa ed il cateto maggiore sono due numeri consecutivi, quali (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), ecc.
Un modo per generare questo tipo di terne pitagoriche è utilizzare la relazione: 

(2n+1)^2 + [2n(n+1)]^2 = [2n(n+1) + 1]^2  per ogni n intero dispari.

Per n = 7, otteniamo la terna pitagorica (15, 112, 113)

(14 + 1)^2 + (14 * 8)^2 = (14 * 8 + 1)^2 
15^2 + 112^2 = 113^2

225 + 12544 = 12769

► In una terna pitagorica primitiva:

- uno dei due cateti a, b è dispari, l'ipotenusa c è dispari. 
- Uno dei due cateti a, b è divisibile per 3.
- Uno dei due cateti a, b è divisibile per 4.
- Uno uno dei tre lati a, b, c è divisibile per 5.
- Il più grande divisore di abc è 60.

Concludo l'articolo con alcuni cenni alla formula di Euclide che consente di generare terne pitagoriche, dati due arbitrari numeri interi positivi m ed n con m>n. La formula stabilisce che gli interi

a = m^2 - n^2       b = 2mn     c = m^2 + n^2

formano una terna pitagorica. Tale terna è primitiva se e solo se m ed n sono coprimi ed m - n è dispari.
Se m ed n sono dispari, allora a, b, c saranno pari, e quindi la terna pitagorica non sarà primitiva; comunque, dividendo a, b, c per 2 si avrà una terna primitiva se m ed n sono coprimi.

Ogni terna pitagorica primitiva si origina da un'unica coppia di numeri coprimi m, n, uno dei quali è pari. Ne consegue che ci sono infinite terne pitagoriche primitive.

Nonostante generi tutte le terne primitive, la formula di Euclide non genera però tutte le terne pitagoriche. Ad esempio la terna (9, 12, 15) non può essere ottenuta usando m ed n interi. A ciò si può ovviare, inserendo nella formula un parametro aggiuntivo k. La seguente darà origine a tutte le terne pitagoriche:

a = k (m^2 - n^2)       b = k (2mn)     c = k(m^2 + n^2)


dove m, n, k sono interi positivi con m > n, m − n dispari, e con m ed n numeri coprimi.

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Riferimenti

► Pythagorean triple

► Tree of primitive Pythagorean triples

► Professor Stewart's Cabinet of Mathematical Curiosities

► Pythagorean triples

► Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions