Non esistono numeri non interessanti, a mio parere. O, se vi piace di più, tutti i numeri sono interessanti. "Perché ne sei così sicura?"- mi chiederete.
Presto detto!
Supponiamo che esista un insieme non vuoto ed ordinato di numeri non interessanti. Deve allora esserci un numero non interessante che sia il più piccolo. Ciò lo rende però interessante, in virtù del fatto che è il più piccolo numero non interessante. Dal momento che i numeri in questo insieme sono stati definiti come non interessanti, siamo pervenuti ad una contraddizione perché questo più piccolo numero non può essere al tempo stesso interessante e non interessante. Pertanto, l'insieme dei numeri non interessanti deve essere vuoto, così dimostrando che non esistono numeri non interessanti.
Vabbé, il mio sproloquio non è stato convincente. Ed infatti è un adattamento del paradosso del numero interessante, un paradosso semiserio che nasce dal tentativo di classificare i numeri naturali come "interessanti" o "non interessanti". Il paradosso afferma che tutti i numeri naturali sono interessanti. La "prova" è per assurdo.
Il tentativo di classificare tutti i numeri in questo modo porta ad un paradosso o antinomia di definizione. Ogni ipotetica partizione dei numeri naturali in insiemi interessanti e non interessanti sembra fallire: poiché la definizione di "interessante" è di solito soggettiva ed intuitiva, il paradosso va inteso come una applicazione semiseria di autoreferenza.
Il paradosso viene ridotto se si prova a definire oggettivamente il termine "interessante".
Proseguiamo, dunque!
Secondo i matematici, ci sono numeri più interessanti di altri. Per togliere un po' di ambiguità al significato di interessante, conveniamo che i matematici trovino interessanti dei numeri aventi delle proprietà matematiche che li differenziano da altri numeri.
Ecco qui un elenco che ne propone una decina.
Probabilmente alcuni non saranno completamente d'accordo sulla scelta; vale, comunque, la pena darle un'occhiata e magari lasciare i vostri suggerimenti nella sezione dei commenti al post.
*****
► 0
Lo zero ha una grandissima importanza nella storia della matematica ed è fondamentale nella notazione posizionale. È l'elemento neutro dell'addizione, perché a + 0= a = 0 + a, ma azzera il risultato se è presente in una moltiplicazione ed anche in una serie di moltiplicazioni.
Indubbiamente, possiamo gestirlo senza difficoltà nelle addizioni e nelle sottrazioni ma non possiamo fare altrettanto nelle moltiplicazioni e soprattutto nelle divisioni.
Infatti, se la divisione 0/a è possibile, ed è sempre uguale a zero, a/0 non lo è. Che dire poi di 0/0 che rimane indeterminata?
L’operazione a^0= 1 ci tira su il morale, ammettiamolo. E pure 0! = 1 lo fa, anche se l’operazione "fattoriale" è una particolare sequenza di moltiplicazioni.
Ci sarebbe molto altro da dire riguardo a questo numero, ma concludiamo con una deliziosa poesia di Gianni Rodari.
Il trionfo dello ZERO
C’era una volta
un povero zero
tondo come un O,
tanto buono ma però
contava proprio zero
e nessuno lo voleva in compagnia
per non buttarsi via.
Una volta per caso
trovò il numero Uno
di cattivo umore perché
non riusciva a contare
fino a tre.
Vedendolo così nero
il piccolo zero
si fece coraggio,
sulla sua macchina
gli offerse un passaggio,
e schiacciò l’acceleratore,
fiero assai dell’onore
di avere a bordo
un simile personaggio.
D’un tratto chi si vede
fermo sul marciapiede?
il signor tre che si leva il cappello
e fa un inchino
fino al tombino
e poi, per Giove,
il sette, l’otto, il nove
che fanno lo stesso.
Ma che cosa è successo?
che l’uno e lo zero
seduti vicini,
uno qua l’altro là
formavano un gran dieci:
nientemeno, un’autorità!
Da quel giorno lo zero
fu molto rispettato,
anzi da tutti i numeri
ricercato e corteggiato:
gli cedevano la destra
con zelo e premura,
(di tenerlo a sinistra
avevano paura),
lo invitavano a cena,
gli pagavano il cinema,
per il piccolo zero
fu la felicità.
*****
► π
Normalmente pensiamo a pi greco come al rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro. Diciamo che così faceva l'umanità prima del 17° secolo, quando pi greco fu liberato da tale dipendenza obbligata. Molte curve furono inventate e studiate (vari archi, ipocicloidi, curve cubiche ed altre) e si scoprì che le loro aree potevano essere espresse in termini di π, che alla fine ha oltrepassato i confini della geometria in un botto.
Ad esempio, modernamente, π si collega a molte aree della teoria dei numeri, alla probabilità, ai numeri complessi e alle serie di frazioni semplici, del tipo:
π/4 = 1- 1/3 + 1/5 -1/7+...+ [(- 1)^n]/(2n + 1), formula di Leibniz per π, nota anche come serie di Gregory per π.
Ancora più recentemente, pi greco è comparso in equazioni che descrivono particelle subatomiche, luce e altre quantità che non hanno una ovvia connessione con cerchi e circonferenze. Il fisico John Polkinghorne (poi ordinato pastore anglicano nel 1982) crede questo indichi un fatto molto profondo circa la natura dell'universo, soprattutto che la nostra mente, che ha "inventato" la matematica, sia conforme alla realtà dell'universo. Noi siamo in sintonia con la sua verità (Sharon Begley, Science Finds God, Newsweek, 20 luglio, 1998, p. 44).
*****
► e
La base dei logaritmi naturali; il limite di (1 + 1/n)^n al crescere di n all'infinito. Il suo valore numerico è 2,7182...( per n = 10 otteniamo 2,59..., per n = 20 otteniamo 2,65...).
La costante e è correlata ad altri importanti numeri, 1, π, i, dalla relazione e^πi = - 1, che scritta come e^πi + 1 = 0 altro non è che la celebre identità di Eulero. Questa seconda formulazione rende esplicita la relazione tra le cinque costanti matematiche in essa contenute: e, i, π, 1, 0.
Ricordiamo che l'identità è un caso particolare della formula di Eulero dell'analisi complessa, la quale afferma che: e^ix = cos x + i sin x, per ogni numero reale x.
L'identità di Eulero è spesso citata come esempio di profonda bellezza matematica. In essa vi figurano tre delle operazioni aritmetiche di base: addizione, moltiplicazione e potenza.
Keith Devlin, professore di matematica alla Stanford University, ha affermato: "Come un sonetto di Shakespeare che cattura l'essenza stessa dell'amore, o un quadro che mette in evidenza la bellezza della forma umana che è molto di più oltre la superficie, l'equazione di Eulero va giù nelle profondità dell'esistenza".
E Paul Nahin, professore emerito all'Università del New Hampshire, che ha scritto un libro dedicato alla formula di Eulero e le sue applicazioni nell'analisi di Fourier, descrive come l'identità di Eulero sia "di squisita bellezza".
Secondo la scrittrice matematica Constance Reid, l'identità di Eulero è "la più famosa formula in tutta la matematica". E Benjamin Peirce, noto filosofo americano del 19° secolo, nonché matematico e professore presso la Harvard University, dopo aver dimostrato l'identità di Eulero nel corso di una conferenza, dichiarò che l'identità "è assolutamente paradossale, non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa, ma l'abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere la verità".
Un sondaggio popolare, condotto da The Mathematical Intelligencer nel 1990, nominò l'identità di Eulero come "il più bel teorema in matematica". In un altro sondaggio popolare, condotto da Physics World nel 2004, l'identità di Eulero fu considerata (a pari merito con le equazioni di Maxwell) come "la migliore equazione di tutti i tempi".
Uno studio scientifico, effettuato sul cervello di sedici matematici, ha trovato che il "cervello emozionale" (in particolare, la corteccia orbitofrontale mediale, che si "illumina" per la bella musica, la poesia, i quadri, ecc), si illumina per l'identità di Eulero in modo più consistente che per qualsiasi altra formula.
Inoltre, e come π è un numero trascendente.
Numerosi processi di crescita in fisica, chimica, biologia e nelle scienze sociali mostrano una crescita esponenziale, contraddistinta dalla formula y = e^x.
Questa funzione è esattamente uguale alla sua derivata, un comportamento che spiega in parte la frequente comparsa di e nei calcoli.
In natura, molte forme sospese seguono una curva catenaria definita dalla formula: (a/2) (e^x/a + e^-x/a).
*****
► i
Unità immaginaria.
Se vi chiedessero di trovare una x tale che x^2 +1 = 0, capireste immediatamente che non esiste una soluzione nel campo dei numeri reali R. Ciò indusse i primi matematici a considerare soluzioni che comprendessero la radice quadrata di numeri negativi.
Erone di Alessandria, matematico ed ingegnere (considerato il più grande sperimentatore dell'antichità, secondo The Hutchinson dictionary of scientific biography. Abingdon, Oxon: Helicon Publishing. p. 546 ) fu probabilmente il primo pensatore che presentò la radice quadrata di un numero negativo come soluzione di un problema.
Tali numeri erano considerati quasi privi di senso e per questa ragione venivano definiti immaginari.
Quando i numeri immaginari furono considerati per la prima volta, molti non erano sicuri della loro validità: quale significato potevano avere nel mondo reale?
Oggi, sorprendentemente, i numeri immaginari sono protagonisti ovunque in ambito scientifico: dall'idrodinamica alla teoria dell'elettricità. Sono usati per la navigazione dai software che controllano il volo delle navicelle spaziali. Sono anche usati dai chimici che lavorano con le proteine per la manipolazione dei modelli speciali delle loro strutture.
Ted Kaczynski, conosciuto come Unabomber per le sue azioni criminose ma anche come matematico (specialista in una branca dell'analisi complessa) ed ex docente universitario, parlò con passione dei numeri immaginari in tutti i suoi articoli di matematica altamente teorica.
Carl Friedrich Gauss coniò il termine complessi nel 1832 per descrivere i numeri con componente reale e immaginaria.
L'espansione nel dominio dei numeri complessi ha reso relativamente facile la soluzione di molti problemi considerati in precedenza molto difficili.
*****
► 2^1/2
La radice quadrata di 2 ha il valore numerico di 1, 414214....
Quando fu dimostrato per la prima volta che si trattava di un numero irrazionale (ovvero non esprimibile come il rapporto di due numeri interi, ad esempio 6/5), fu sviluppata una intera nuova area della matematica.
I pitagorici, una comunità filosofica, religiosa e politica, fondata sugli insegnamenti di Pitagora, scoprirono che la diagonale di un quadrato di lato unitario non è un numero razionale. Tale fatto fu considerato così sconvolgente da indurre coloro che ne vennero a conoscenza a giurare di non rivelarlo, per paura di distruggere la coesione della comunità.
Si narra che, quando Ippaso di Metaponto, considerato la personalità più rilevante all'interno della scuola pitagorica antica dopo Pitagora, scoprì che nel triangolo rettangolo isoscele l'ipotenusa era uguale alla radice di due, la visione del mondo dei pitagorici ne fu sconvolta.
La leggenda racconta che per questo motivo (o per averne rivelato la dimostrazione al mondo) venne affogato nel mare di fronte a Crotone. Certo è che la scoperta provocò una crisi esistenziale negli antichi matematici greci.
Le cifre decimali di 1,414214...proseguono all'infinito senza un modello particolare. I pitagorici chiamavano questi numeri irrazionali alogon, che significa impronunciabile.
Più precisamente, il termine fu utilizzato da Pitagora e Platone per indicare l'anima irrazionale nell'uomo, suddivisa in thymichon ed epithymichon; l'anima razionale era chiamata logos. Quindi il termine alogon indicava ciò che era "privo di ragione", "indicibile", "ineffabile", "irragionevole", "irrazionale" e, per estensione, "assurdo" e "privo di fondamento".
___________________________________________
► Immagini: sono state prese dalla rete e da Wikipedia.
► Riferimenti: sono stati linkati nelle parole chiave, all'interno del post.
► Fonte principale: C. Pickover, La magia dei numeri, Collana SFIDE MATEMATICHE, RBA Italia S.r.l, 2008.
Nessun commento:
Posta un commento