L'intraprendente fanciulla racconta come un bel dì, dopo aver risolto un esercizio di geometria, si rese conto che la risoluzione poteva esserne facilitata applicando un semplice teorema...che scoprì in seguito, con somma meraviglia, non essere stato ancora formulato!
Consultò, infatti, il suo insegnante e alcuni suoi parenti impegnati nel campo della matematica fuori del suo paese di origine, e alla fine- d'accordo con i suoi genitori- si mise in contatto con un professore universitario e altri esperti.
Appurato che il teorema non era stato ancora formulato, nonostante la sua evidente semplicità e valenza logica, decise di elaborarne la formulazione con relativa dimostrazione, un po' aiutata in questo dal suo insegnante e da suo padre, insegnante pure lui.
Ecco a voi il teorema, in inglese.
The Theorem:
If three or more line segments of equal length leave a single point and reach the boundary of a circle, the point is the center of the circle and the lines are its radii.
La mia traduzione letterale.
Il teorema:
Se tre o più segmenti di ugual lunghezza partono da un unico punto e raggiungono una circonferenza, il punto è il centro della circonferenza e i segmenti sono suoi raggi.
Segue la mia traduzione relativa alla dimostrazione del teorema, che potete consultare in inglese a questa pagina.
Dimostrazione del teorema per il caso di tre segmenti.
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| Problema dei tre raggi: visualizzazione Figura realizzata da me con GeoGebra |
Dobbiamo dimostrare che M è il centro della circonferenza e che MA, MB, MC sono suoi raggi.
1. Tracciamo le corde AB e BC.
2. I triangoli AMB e BMC sono isosceli, in base all'ipotesi fatta.
3. Tracciamo i segmenti MD e ME, dal vertice M alla base dei due triangoli isosceli.
4. MD e ME sono assi dei segmenti AB e BC rispettivamente.
Ciò deriva dai punti 2 e 3, e dal fatto che, in un triangolo isoscele, l'asse relativo alla base passa per il terzo vertice.
5. ME e MD passano per il centro della circonferenza.
Ciò deriva dal punto 4 e dal teorema per cui l'asse di qualsiasi corda di una circonferenza passa per il centro della circonferenza.
6. M è il centro della circonferenza.
Ciò deriva dal punto 5, perché M è l'unico punto comune ai due segmenti.
7. MA, MB e MC sono raggi della circonferenza.
Ciò deriva dal punto 6 e dal fatto che ciascuno dei tre segmenti va da M fino alla circonferenza.
Q.E.D (6 e 7)
La ragazza è indubbiamente brillante ed il suo insegnante è da lodare per averla incoraggiata a produrre dei ragionamenti personali, cimentandosi su questioni di geometria sfidanti.
È, però, corretto sottolineare che quanto elaborato dalla fanciulla non è del tutto nuovo perché qualcosa di analogo si trova negli Elementi di Euclide, Libro III, Proposizione 9.
Il testo della Proposizione 9, in inglese:
If a point is taken within a circle, and more than two equal straight lines fall from the point on the circle, then the point taken is the center of the circle.
Ovvero:
Se viene preso un punto all'interno di una circonferenza, e si possono condurre più di due segmenti di ugual lunghezza dal punto alla circonferenza, allora il punto considerato è il centro della circonferenza.
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| Elementi di Euclide, Libro III, Proposizione 9: visualizzazione |
Potete consultare il Libro III degli Elementi di Euclide su Wikisource.
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* Pi in the Sky è una pubblicazione del Pacific Institute for the Mathematical Sciences (PIMS). PIMS è supportato da: the Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada, the Province of Alberta, the Province of British Columbia, the Province of Saskatchewan, Simon Fraser
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