Teoria dei Numeri: La Regina della Matematica

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Si dice che Carl Friedrich Gauss, uno dei più grandi matematici di sempre, avesse affermato:

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica".

Le proprietà dei numeri primi giocano un ruolo cruciale nella teoria dei numeri, che studia le proprietà dei numeri interi; una domanda intrigante è come essi siano distribuiti all'interno degli altri numeri interi.
Nel 19° secolo ci sono stati indubbi progressi nella risposta a questa domanda con la dimostrazione del Teorema dei numeri primi, ma abbiamo anche visto Bernhard Riemann proporre quello che molti considerano il più grande problema irrisolto in matematica - l'Ipotesi di Riemann.

La teoria dei numeri è un'antica disciplina. Le prime formulazioni dei problemi della teoria dei numeri, e le soluzioni di alcuni di essi, risalgono, infatti, a Pitagora e alla sua scuola e sono enunciate negli Elementi di Euclide.
Euclide ha dimostrato l'infinità dei numeri primi con il metodo della reductio ad absurdum, un metodo di dimostrazione che procede con la formulazione di una proposizione che poi si risolve in una contraddizione, dimostrando così che la proposizione è falsa.
Un altro problema è, sin dai tempi più antichi, quello della risoluzione di equazioni a coefficienti interi: Pitagora risolveva equazioni quadratiche legate ai triangoli rettangoli, Euclide utilizzava equazioni lineari per calcolare il massimo comun divisore di due numeri interi e Archimede studiava equazioni quadratiche, note oggi come equazioni di Pell. 

Occorre ricordare che una grande dose di misticismo permea i più antichi trattati. I pitagorici, per esempio, spiegavano molti eventi dell'universo in termini di numeri interi. Soltanto poche centinaia di anni fa, i corsi di numerologia rappresentavano un requisito per tutti gli studenti universitari, e anche oggi numeri come 13, 7, e 666 provocano in molti delle reazioni emotive.
Oggi l'aritmetica dei numeri interi è importante in un ampio spettro di attività umane e ha più volte giocato un ruolo fondamentale nell'evoluzione delle scienze naturali.

Perché preoccuparsi...ed occuparsi dei numeri interi?

Il brillante matematico ungherese Paul Erdős (1913-1996) era affascinato dalla teoria dei numeri e dal fatto di poter porre problemi, relativi ai numeri interi, che erano spesso semplici da enunciare ma notoriamente difficili da risolvere. Per Erdős, un problema matematico ancora irrisolto dopo 100 anni era quasi sicuramente un problema di teoria dei numeri.
Esiste un'armonia nell'universo che può essere espressa dai numeri interi. Modelli numerici descrivono la sistemazione dei petali in una margherita, la riproduzione dei conigli, l'orbita dei pianeti, le armonie della musica e le relazioni tra gli elementi della tavola periodica.
Il tedesco Leopold Kronecker (1823-1891), algebrista e teorico dei numeri, disse una volta:

"I numeri interi ci vengono da Dio e tutto il resto è opera dell'uomo".

Egli sottintendeva che la fonte primaria di tutta la matematica sono i numeri interi.
Fin dal tempo di Pitagora, è stato ampiamente apprezzato il problema del rapporto tra numeri interi nelle scale musicali. Cosa ancora più importante, i numeri interi sono stati fondamentali nell'evoluzione delle conoscenze scientifiche dell'umanità.
Per esempio, nel 18° secolo, il chimico francese Antoine Lavoisier scoprì che i composti chimici sono formati in proporzioni fissate di elementi corrispondenti al rapporto di piccoli numeri interi. Questa era una prova importante dell'esistenza degli atomi.
Si sottolinea che, a partire dal 18° secolo, la teoria dei numeri fiorisce rapidamente grazie alle opere di Pierre de Fermat, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre e Gauss. In particolare, con le Disquisitiones Arithmeticae (1801) di Gauss può dirsi iniziata la moderna teoria dei numeri.

Nel 1925, alcune relazioni intere tra le lunghezze d'onda delle linee spettrali emesse da atomi eccitati fornivano i primi indizi della struttura dell'atomo. I rapporti quasi interi dei pesi atomici costituirono una prova del fatto che il nucleo dell'atomo è costituito da un numero intero di nucleoni simili (protoni e neutroni). Le deviazioni di tali rapporti portarono alla scoperta degli isotopi degli elementi.
Piccole divergenze, rispetto a numeri interi esatti, nel peso atomico degli isotopi puri confermarono la nota equazione di Einstein E = mc^2 e anche la possibilità (purtroppo) delle bombe atomiche. I numeri interi sono ovunque nella fisica atomica.
Le relazioni tra numeri interi sono sponde fondamentali dell'onda matematica, o come disse Gauss (concludendo come ho iniziato):

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica". 

Per finire con queste brevi e non esaustive considerazioni, suggerisco alcuni ottimi filmati inerenti alla Teoria dei numeri.

Due video del MIT:

Lecture 4: Number Theory  

Lecture 5: Number Theory II

Dalla Stanford University, Keith Devlin ci offre:

Lecture 9A - Number Theory 1

Lecture 9B - Number Theory 2

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Riferimenti consultati

The queen of Mathematics

Teoria dei numeri

La Magia dei Numeri, Clifford Pickover

Letture consigliate

Number Theory

Teoria dei numeri. Storia e matematica da Hammurabi a Legendre, André Weil